До сих пор π благополучно выдерживало все статистические испытания на случайность. Это кажется непонятным тем, кто полагает, что у столь простой и изящной кривой, как окружность, должно бы быть менее дикое отношение между «обхватом» и поперечником, но большинство математиков твердо уверены в том, что среди цифр десятичного разложения π никогда не будет обнаружено никакого порядка. Разумеется, эти числа не случайны в том смысле, что они определяют число π, но в этом же смысле не случаен и миллион «случайных» цифр в таблицах так называемых «случайных чисел». Они также представляют некоторое число, к тому же целое.

Если верно, что цифры в десятичном разложении π случайны, то мы, по-видимому, с полным основанием можем сформулировать парадокс, в какой-то мере аналогичный парадоксу со стадом обезьян, которые, просидев достаточно долго за пишущими машинками, смогут напечатать все пьесы Шекспира. Стифен Барр заметил, что если не ставить пределом точности измерения длины стержней, то с помощью двух стержней, не делая на них никаких зарубок или меток, можно в принципе передать содержание всей «Британской энциклопедии». В самом деле, длина одного стержня принимается за единицу (эталон) длины. Длина другого выбирается так, чтобы она отличалась от единичной на величину, выражающуюся очень длинной десятичной дробью. Цифрами десятичной дроби закодирован текст «Британской энциклопедии»: различным числам (в десятичной записи которых нет нуля) сопоставлены слова и знаки пунктуации, встречающиеся во всех томах энциклопедии от «А» до «Z»; нуль использован для разделения кодовых чисел. Ясно, что таким образом всю «Британскую энциклопедию» можно закодировать одним, хотя и невероятно длинным числом. Поставив перед этим числом запятую и приписав слева единицу, мы получим длину второго стержня Барра.

При чем же здесь π? А вот при чем: если цифры в десятичном разложении π действительно распределены случайно, то где-то в их бесконечной последовательности должен встретиться отрезок, содержащий в закодированном виде всю «Британскую энциклопедию», а также любую книгу, которая была, будет или могла быть написана.

* * *

В 1961 году компьютер ИБМ-7090 вычислила π с точностью до 100625 знаков. Программа была составлена Дэниэлом Шенксом (не имеющим никакого отношения к Уильяму Шенксу; это лишь одно из тех странных совпадений, которыми изобилует история числа π) и Джоном У. Ренчем-младшим. Машинное время составило 8 ч 1 мин; еще 42 мин потребовалось для того, чтобы перевести результат из двоичной в десятичную форму. Вычисление нескольких тысяч знаков π в настоящее время стало популярным средством проверки новых компьютеров и обучения молодых программистов.

«Загадочное и чудесное π,— пишет в своей книге «Что мы знаем о больших числах» Филипп Дж. Дэвис, — стало чем-то вроде покашливания, которым компьютеры прочищают горло».

Ответ

Читателю предлагалось найти сторону квадрата, равновеликого (по площади) фигуре, похожей на вазу (рис. 214) и ограниченной дугами окружности диаметром 10 см.

Рис. 214 Как «квадрировать» вазу.

Ответ: сторона квадрата также равна 10 см. Если пунктирные линии провести так, как показано на рисунке, то станет видно, что сегментами А, В и С можно заполнить «лунки» А', В' и С', при этом образуются два квадрата общей площадью 100 см². На рис. 215 показано, как разрезать вазу всего лишь на три части так, чтобы из них можно было сложить квадрат 10 х 10 см.

Рис. 215 Квадрирование вазы разрезанием ее на три части.

Глава 42. ВИКТОР АЙГЕН, МАТЕМАГ И ВОЛШЕБНИК

В последнее время все больше фокусников-любителей стало обращать внимание на «матемагию» — фокусы, основанные не на ловкости рук, а на том или ином математическом принципе. Профессионалы не любят таких фокусников и стараются их избегать, потому что для обычной аудитории они слишком трудны и непонятны («ученая материя»!), но в небольшой компании, если их показывать не как чудеса, а просто как головоломки, такие фокусы могут быть интересными и занимательными. Мой друг Виктор Айген, инженер по электронному оборудованию и экс-президент «Братства американских повелителей волшебной палочки», всегда находится в курсе последних достижений матемагии. В надежде почерпнуть у него что-нибудь интересное для странички «Математических развлечений», регулярно публикуемой в журнале Scientific American, я нанес ему очередной визит.

Дверь открыл сам хозяин, стройный седовласый человек лет пятидесяти с небольшими морщинками у глаз.

— Не возражаешь, если мы немного посидим на кухне? — спросил он, впуская меня в квартиру. — Жена смотрит телепередачу, и, пока программа не кончится, ее лучше не беспокоить. Налить тебе бурбон-виски?

Мы сели за кухонный столик и подняли стаканы.

— За матемагию! — сказал я. — Что новенького?

Виктор тотчас же извлек из кармана рубашки колоду карт.

— Последняя новинка в карточных фокусах — это принцип Гилбрейта — одна довольно хитрая теорема, открытая Норманом Гилбрейтом, молодым фокусником из Калифорнии.

Разговаривая, Виктор быстро разложил карты на столе так, что черные и красные масти чередовались друг с другом.

— Ты, конечно, знаешь, что если снять часть колоды, взять одну половину колоды в правую руку, другую — в левую и предоставить картам падать одна на другую, то расположение карт будет весьма далеким от случайного?

Я снял верхнюю часть колоды и перетасовал карты по способу Виктора.

— Посмотри на карты, — сказал Виктор. — Видишь, правильное чередование черных и красных карт не нарушилось.

— Вижу.

— Сними карты еще раз, но так, чтобы нижняя карта верхней половины и верхняя карта нижней половины были одного цвета.

Обе половинки порознь передай мне. Карты держи рубашкой кверху, чтобы я не видел их лицевой стороны.

Я послушно выполнил все указания. Виктор опустил обе половинки под стол, так что никто из нас не мог видеть карт, и сказал:

— Я пытаюсь на ощупь определить цвет карт и составить черно-красную пару.

Нужно ли говорить, что первая же пара карт, которую он выложил на стол, была черно-красной. За первой парой последовала вторая, третья… десятая.

— Как ты это делаешь?

Виктор, не дав мне договорить, засмеялся. Бросив оставшиеся карты на стол, он начал открывать одну пару карт за другой. В каждой паре одна карта была красного, а другая — черного цвета.

— Нет ничего проще, — сказал он и пояснил: — Карты нужно снять, верхнюю часть карт положить снизу, а затем — запомни, это самое главное — разделить колоду на две части так, чтобы разделенными оказались две карты одного цвета. Чередование карт нарушится, но карты будут по-прежнему упорядочены и в каждой паре сохранится по одной черной и по одной красной карте.

— Не может быть!

— Подумай немного и ты поймешь, почему так получается, хотя сформулировать доказательство в нескольких словах не так легко. Кстати сказать, мой друг Эдгар Н. Джилберт из лаборатории фирмы «Белл» включил интересную головоломку, основанную на аналогичном принципе, в свою недавнюю работу о тасовании карт и теории информации. Я набросал ее для тебя.

С этими словами он протянул мне листок бумаги, на котором означились буквы:

TLVEHEDINSAGMELRLIENATGOVRAR

GIANESTYOFOFIFFOSHHRAVEMEVSO

— Эти буквы взяты из одной фразы, опубликованной в Scientific American пять лет назад, — пояснил он. — Джилберт написал каждую букву на отдельной карточке, а карточки сложил в колоду так, что всю фразу можно было прочитать, двигаясь сверху вниз.