Затем он взял в правую руку другой крекер и, повернув его нажатием указательного пальца на угол В, нарисовал на обратной стороне стрелку, указывающую на юг.

— Теперь у нас все готово, — сказал он улыбаясь, — для забавного фокуса, использующего свойства симметрии квадрата относительно вращений. Обрати внимание, что на обеих сторонах левого крекера я нарисовал стрелки, указывающие на север.

Он взял крекер в левую руку и повернул его несколько раз, чтобы продемонстрировать, что обе стрелки смотрят на север.

— На правом же крекере одна стрелка указывает на юг, а другая — на север. — Взяв крекер в правую руку и быстро завертев его, он показал, что стрелки действительно направлены в противоположные стороны.

Положив оба крекера на стол, Виктор осторожно, не изменив ориентации стрелок, поменял крекеры местами.

— Покрути их, пожалуйста, — попросил он. — Я хочу, чтобы ты убедился, что на правом крекере обе стрелки указывают на юг, а на левом — одна на юг, а другая на север.

Виктор передал мне оба крекера, и, повертев их точно таким же образом, как это делал он сам, я убедился, что крекеры действительно поменялись местами.

Виктор положил крекеры перед собой, простер над ними ладони и повелел крекерам незримо вернуться на прежние места. Он повернул крекер, лежащий слева от него, и я с удивлением увидел, что обе стрелки указывают на север! Виктор взял правый крекер, и оказалось, что одна стрелка смотрит на юг, а другая — на север!

— Попробуй сам, — сказал он, — и увидишь, что все получается автоматически. В самом деле, ведь оба крекера совершенно одинаковы. Разница состоит лишь в том, какой рукой ты их держишь.

Если попросишь зрителя проверить крекеры, то можешь не сомневаться, что он возьмет правый крекер в левую руку, а левый крекер — в правую. При этом крекер с противоположно направленными стрелками он возьмет так, чтобы стрелка на лицевой стороне была обращена на север.

Я допил свой стакан. Виски в бутылке оставалось только на одну порцию. Кухня слегка покачивалась.

— А сейчас я покажу тебе фокус, — сказал я, взяв из пачки еще один крекер, — статистическое испытание. Я подброшу крекер.

Если он упадет нижней стороной вверх, остатки виски получаешь ты. Если он упадет вверх другой стороной, виски допиваешь снова ты. Если же он упадет вверх ни той, ни другой стороной, то последнюю порцию получаю я.

Виктор смотрел на меня настороженно.

— О'кей! — сказал он.

Я сжал крекер в кулаке и подбросил вверх крошки.

Мертвая тишина. Даже холодильник перестал бормотать.

— Вижу, что виски, которое я должен был выпить, бросилось тебе в голову, — сказал наконец Виктор без тени улыбки. — И должен заметить, что такой дурацкий фокус вряд ли стоит показывать старому другу.

* * *

Нестрогое доказательство принципа Гилбрейта можно провести следующим образом. Сняв часть карт (из заранее подготовленной колоды с правильным чередованием черных и красных карт), мы окажемся в одной из двух возможных ситуаций: нижние карты в каждой из половин колоды могут быть либо одного цвета, либо двух разных цветов. Предположим, что нижние карты различаются по цвету.

После того как упадет первая из нижних карт, нижние карты в обеих половинах колоды станут одного цвета. Если первая упавшая карта была черной, обе нижние карты будут красными; если же она была красной, то обе нижние карты после этого будут черными. Поэтому безразлично, из какой половины брать следующую карту — из правой или из левой. И в том и в другом случае, уронив на стол следующую нижнюю карту, мы получим пару карт различного цвета. После того как упадет вторая карта, мы возвращаемся к исходной ситуации: нижние карты в обеих половинах колоды имеют разный цвет. Уронив на стол любую из них, мы снова добьемся того, что обе нижние карты будут одного цвета, противоположного цвету только что выложенной карты, и т. д. Рассуждение можно повторять до тех пор, пока вся колода не окажется исчерпанной.

Предположим теперь, что при первоначальном разбиении колоды на две части нижние карты каждой из половин оказались одного цвета. Первой может упасть любая из этих карт. Ко всем последующим парам карт применимо только что проведенное рассуждение.

Останется лишь одна карта. Ясно, что цвет ее должен отличаться от цвета отложенной в самом начале карты. Поэтому в том случае, когда колоду карт делят между двумя картами одного цвета (то есть между «готовыми» парами карт различных цветов), верхнюю и нижнюю карту колоды нужно объединить в одну пару, а все остальные пары уже готовы.

Фокус с картами и стаканом можно показывать многими способами. Один из читателей рассказал, что он, случайным образом выбрав девять карт, раскладывал их в три ряда по три карты в каждом, а потом просил зрителя поставить на любую из карт миниатюрный череп. В черепе было небольшое отверстие, в которое он вставлял скатанную полоску бумаги со своим предсказанием: названием карты, находящейся в центре. Карточку с нужными инструкциями он вынимал из кармана (в двух карманах, правом и левом, лежали две разные карточки). Указания, содержавшиеся в инструкциях, относились не к названию карты, а к ее «координатам».

Другой читатель разработал вариант фокуса, в котором инструкции зрителю давал голос, записанный на граммофонную пластинку, а стакан или другой предмет нужно было переставлять по девяти карточкам, носившим названия девяти планет. Пластинку, разумеется, можно было ставить либо на одну, либо на другую сторону.

Ответ

Предложение, записанное на карточках, расшифровывается так:

«The smelling organs of fish have evolved in a great variety of forms»

(«Органы обоняния рыбы чрезвычайно разнообразны по форме»).

Глава 43. ПРОБЛЕМА ЧЕТЫРЕХ КРАСОК

Из всех великих математических гипотез, не доказанных и не опровергнутых по сей день, простейшей — в том смысле, что понять ее может даже маленький ребенок, — следует считать знаменитую топологическую проблему четырех красок. Предположим, что нам требуется раскрасить географическую карту. Сколько красок нужно взять для того, чтобы никакие две «сопредельные» страны, имеющие общую границу, не были выкрашены в один цвет? Нетрудно начертить карту, для раскраски которой требуются лишь четыре краски. Зная только элементарную математику, вполне можно разобраться в строгом доказательстве того, что пять красок достаточно для раскраски любой карты. Можно ли утверждать, что для тех же целей необходимо и достаточно взять четыре краски?

Иначе говоря, можно ли начертить карту, для раскраски которой необходимо иметь пять красок? Математики, размышлявшие над этой задачей, склоняются к мнению, что сделать этого нельзя, но утверждать с уверенностью невозможность построения карты, требующей для своей раскраски пяти цветов, они не могут.

Не проходит и месяца, чтобы кто-нибудь не прислал мне пространного «решения» проблемы четырех красок. Почти во всех случаях оказывается, что автор очередного «решения» спутал проблему с гораздо более простой задачей — доказательством того, что невозможно начертить карту, на которой было бы всего лишь пять стран и каждая из этих стран примыкала бы к четырем остальным странам (две страны, имеющие лишь одну общую точку, примыкающими друг к другу, не считаются). Я сам тоже в какой-то мере способствовал этому распространенному заблуждению, написав как-то раз научно-фантастический рассказ под названием «Остров пяти красок» о вымышленном острове, который один польский тополог разделил на пять областей так, что каждая область имела общую границу с четырьмя остальными. Нетрудно доказать, что такую карту начертить нельзя. Можно предположить, что отсюда автоматически следует решение проблемы четырех красок для всех карт, но такое заключение неверно.

Чтобы разобраться, в чем здесь дело, рассмотрим простую карту, изображенную на рис. 219,а (истинная форма областей роли не играет, важно лишь то, как области примыкают друг к другу; проблема четырех красок потому и относится к топологии, что в ней речь идет о свойстве плоских фигур, не меняющемся при деформации поверхности, на которой эти фигуры начерчены).