На первые нападки Валлиса Гоббс ответил переизданием своей книги на английском языке с добавлением, озаглавленным «Шесть уроков профессорам математики…» (думаю, читатели простят мне, если я не стану приводить полностью характерные для XVII века длиннейшие заглавия). Валлис парировал выступление своего противника, опубликовав «Поправку, в которой нуждаются познания мистера Гоббса в одной школьной дисциплине, не говоря уже о его "Шести уроках"». В ответ на это Гоббс разразился «Замечаниями об абсурдной геометрии, деревенском языке, церковной политике в Шотландии и дремучем невежестве Джона Валлиса». Тот не заставил себя ждать и выпустил труд под названием «Hobbiani Pincti Dispunctio, или опровержение замечаний мистера Гоббса».

Несколько позднее (опубликовав анонимно в Париже абсурдный метод решения задачи об удвоении куба) Гоббс писал: «Либо я сошел с ума, либо все они (профессора математики) не в своем разуме. Третьего быть не может, разве что они скажут, будто мы все рехнулись».

«Довод моего противника не нуждается в опровержении, — был ответ Валлиса, — ибо если он сошел с ума, то вряд ли его можно убедить доводами рассудка. Если же мы все сошли с ума, то мы не в состоянии даже попытаться опровергнуть его довод».

С небольшими перерывами борьба продолжалась до самой смерти Гоббса, последовавшей на 91-м году жизни философа. «Мистер Гоббс всегда был далек от мысли бросать кому-нибудь вызов, — писал Гоббс в одной из своих филиппик против Валлиса (и действительно, в отношениях с другими людьми Гоббс был крайне робок), — но, бросив ему вызов, вы убедитесь, что перо его не уступит в остроте вашему. Все сказанное вами состоит наполовину из лжи, наполовину из брани. Оно ничем не отличается от того зловония, которое испускает старая кляча, если, обкормив ее овсом, мы слишком туго затянем подпругу. Я кончил. Я уделил вам достаточно внимания и не намерен возвращаться к этому неприятному для меня занятию вновь…»

Не станем подробно обсуждать здесь то, что Валлис назвал удивительной «неспособностью» Гоббса «научиться тому, чего он не знает». Достаточно сказать, что Гоббс опубликовал около десятка различных способов решения задачи о квадратуре круга. Первое и лучшее решение показано на рис. 211.

Рис. 211 Один из способов решения задачи о квадратуре круга, принадлежащий Гоббсу.

Внутри единичного квадрата проведены дуги ас и bd. Каждая из них равна четверти окружности единичного радиуса. Точка q делит дугу bf пополам. Проведем отрезок rq, параллельный стороне квадрата, и продолжим его за точку q на расстояние, равное rq (то есть отложим на продолжении отрезок qs = rq). Проведем отрезок fs и продолжим его до пересечения со стороной квадрата в точке t. Гоббс утверждал, что отрезок bt в точности равен дуге bf, а так как дуга bf составляет 1/12 единичной окружности, то число π равно шестикратной длине отрезка bt. При этом значение π получается равным 3,1419…

Одну из главных причин всех затруднений Гоббса понять нетрудно. Он никак не мог привыкнуть к мысли о том, что точки, линии и поверхности можно рассматривать абстрактно как геометрические объекты, размерность которых меньше трех. «По-видимому, он так и ушел в могилу, — пишет в книге «Ссоры авторов» Исаак Дизраэли, — с твердым убеждением, что поверхности обладают и глубиной и толщиной, несмотря на все возражения геометров, выслушанные им при жизни». Гоббс являет собой классический пример человека выдающихся способностей, вступившего в область науки, для которой он плохо подготовлен, и растратившего всю энергию на решение пустых псевдонаучных вопросов.

Хотя невозможность решения задачи о квадратуре круга строго доказана, задача о квадратуре фигур, ограниченных дугами окружности, часто бывает вполне разрешимой. Именно это обстоятельство все еще пробуждает ложные надежды у «квадратурщиков».

Рис. 212 Титульный лист одной из книг Гоббса, содержащей «решение» задачи о квадратуре круга.

Интересный пример такой квадрируемой фигуры показан на рис. 213.

Рис. 213 Скольким квадратным единицам равна площадь этой фигуры?

Контур нижней части этой вазы образован дугой в 3/4 окружности радиусом 10 см. Верхняя половина ограничена тремя четвертушками той же окружности. Как быстро сможет читатель назвать с точностью до последнего десятичного знака длину стороны квадрата, имеющего площадь, равную площади этой фигуры?

Близкими родственниками «квадратурщиков» были вычислители π — те, кто порой затрачивал целые годы для того, чтобы вручную найти новые знаки в десятичном разложении π, оставив позади все ранее проведенные вычисления. Для этого использовали бесконечные ряды или произведения, сходящиеся к π. Одно из простейших выражений для π открыл Валлис:

В числителях дробей по два раза повторяются последовательные четные числа. (Отметим случайное сходство между первыми пятью знаменателями и цифрами в рациональном приближении числа π, открытом китайским астрономом!) Несколько десятилетий спустя великий Лейбниц открыл другую изящную формулу:

Самым неутомимым вычислителем π был английский математик Уильям Шенкс. Более 20 лет жизни он посвятил вычислению 707 знаков числа π. К сожалению, несчастный Шенкс ошибся в пятьсот двадцатом знаке, и все последующие цифры в полученном им выражении неверны. (Ошибку обнаружили лишь в 1945 году, поэтому семисотсемизначное разложение Шенкса и поныне еще можно встретить во многих книгах.) В 1949 году электронно-вычислительная машина «ЭНИАК», проработав в течение 70 часов, вычислила более 2000 знаков числа π. Позднее с помощью компьютера, проработавшего всего лишь 13 минут, были вычислены 3000 знаков π. В 1959 году один компьютер в Англии и другой во Франции вычислили 10000 десятичных знаков π.

Самое странное в найденных Шенксом 707 знаках π состоит в том, что эти знаки «свысока» смотрят на цифру 7: если каждая из остальных цифр, как и должно быть, встречается среди первых 700 знаков около 70 раз, то семерка появляется лишь 51 раз. «Если бы все циклометристы и апокалипсисты объединили свой разум, — писал де Морган, — и до тех пор, пока они не придут к единому мнению относительно причин этого явления, не печатали бы ни единой строки, то они заслужили бы признательность всего человечества». Спешу добавить, что после того, как все 707 первых знаков π были вычислены верно, недостающие семерки заняли подобающее им место и справедливость была восстановлена. Математики-интуиционисты придерживаются того мнения, что утверждение об «истинности или ложности» любого высказывания лишено смысла, если вы не можете подтвердить или опровергнуть это высказывание, и всегда приводят пример такого высказывания: «В десятичном разложении числа π встречаются три семерки подряд». Ныне мы с полной уверенностью можем утверждать, что высказывание «В десятичном разложении числа 7Г встречаются подряд пять семерок» истинно. Среди недавно полученных десятичных знаков для π были обнаружены не только однократно повторяющиеся тройки всех цифр от 0 до 9, но и несколько групп из 4-х семерок (и совершенно неожиданная очередь из 6-ти девяток).