Ответы

Наименьшее число апельсинов, из которых можно сложить либо две пирамиды (тетраэдра) неодинаковых размеров, либо одну большую пирамиду-тетраэдр, равно 680. Это тетраэдрическое число можно представить в виде суммы двух меньших тетраэдрических чисел: 120 и 560. Вдоль ребер пирамид можно уложить 8, 14 и 15 апельсинов.

В квадратную коробку с основанием 10 см² и высотой 5 см стальные шарики диаметром 1 см можно плотно уложить многими способами, и в зависимости от способа укладки коробка будет вмещать различное число шаров. Максимальная емкость — 594 шарика — достигается следующим образом. Перевернув коробку на бок, нужно уложить первый слой шариков. Первый ряд должен состоять из 5, второй — из 4, третий — снова из 5, четвертый — снова из 4 и т. д. шариков. Всего получится одиннадцать рядов (шесть рядов по пяти шариков в каждом и пять рядов по четыре шарика в каждом).

На все ряды первого слоя у вас уйдет 50 шариков, а незаполненная полоска вдоль стенки коробки будет иметь в ширину около 0,3 см.

Второй слой также должен состоять из одиннадцати рядов. Первый и последний ряды содержат по четыре шарика, остальные — попеременно то пять, то четыре шарика. Во втором слое умещается всего лишь 49 шаров. (Последний ряд на 0,28… см выступает над последним рядом первого слоя, но, поскольку эта величина меньше оставшегося после укладки первого слоя зазора в 0,3 см, все шары второго слоя умещаются в коробке.) Всего в коробку входит двенадцать слоев (общей высотой 9,98… см), состоящих попеременно то из 50, то из 49 шариков, то есть 594 шарика.

Глава 41. ТРАНСЦЕНДЕНТНОЕ ЧИСЛО «ПИ»

«Лицо Пи было скрыто маской. Все понимали, что сорвать ее, оставшись при этом в живых, не сможет никто. Сквозь прорези маски пронзительно, безжалостно, холодно и загадочно смотрели глаза», — так писал в своей книге «Кошмары выдающихся личностей» Бертран Рассел.

Отношение длины окружности к ее диаметру, которое древние греки обозначили буквой π («пи»), возникает во многих ситуациях, не имеющих никакого отношения к окружностям. Английский математик Август де Морган назвал как-то «пи» «…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу».

Приведем лишь один пример. Рассмотрим множество целых положительных чисел. Если из них случайным образом выбрать два числа, то какова вероятность того, что выбранные числа не будут иметь общего делителя? Ответ неожидан: искомая вероятность равна 6/π². Тем не менее именно то обстоятельство, что π связано с окружностью, сделало его наиболее известным представителем бесконечного класса трансцендентных чисел.

Что такое трансцендентное число? По определению трансцендентным называют число, которое не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. Квадратный корень из 2 —число иррациональное, но это — «алгебраическое иррациональное» число, потому что — это—«алгебраическое иррациональное» число, потому что корень из 2 есть корень квадратного уравнения х² — 2 = 0. Число π не может быть корнем ни одного алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами, оно получается в результате некоторого предельного перехода. Дробная часть десятичной записи числа тг, как и у всех иррациональных чисел, бесконечна и непериодична.

Ни одна дробь с целым числителем и знаменателем не может быть в точности равной π, но существует много простых дробей, которые дают исключительно хорошее приближение числа π. Самая замечательная из таких дробей была найдена еще в V веке до нашей эры знаменитым китайским астрономом Цю Шунь-ши.

На Западе ее открыли лишь тысячу лет спустя. Получить ее можно с помощью числового фокуса. Напишем по два раза первые три нечетных числа: 1,1, 3, 3, 5, 5. Три последних числа сделаем числителем, а три первых — знаменателем дроби: 355/113. Трудно поверить (а между тем это чистейшая правда), что эта дробь позволяет вычислить π с точностью до седьмого знака. Приближенные значения π можно получать и с помощью корней из различных чисел. Так, древние заменяли π числом 10^1/2 (3,1413…). Еще лучшее приближение дает 31^1/2 (3,1413…). Для любителей нумерологии заметим, что первые две цифры десятичного разложения π — это те самые тройка и единица, которыми записано число 31. Длина ребра куба объемом 31 см³ отличается от π меньше чем на 0,001 см. Неплохим приближением к π может служить сумма 2^1/2 + 3^1/2, равная 3,146…

Первые попытки вычислить точное значение π тесно связаны с попытками решить классическую проблему квадратуры круга.

Можно ли, пользуясь только циркулем и линейкой, построить квадрат, площадь которого была бы в точности равна площади данного круга? Если бы мы могли представить π в виде рациональной дроби или корня линейного или квадратного уравнения, то с помощью циркуля и линейки нам нетрудно было бы построить отрезок прямой, длина которого была бы в точности равна половине длины окружности. Отсюда уже совсем просто было бы получить квадратуру круга: для этого достаточно построить прямоугольник, у которого одна сторона равна радиусу окружности, а другая — половине ее длины. Площадь такого прямоугольника равна площади круга, а превратить его в равновеликий квадрат легко. Наоборот, если бы задача о квадратуре круга была разрешима, то это бы означало, что мы можем построить отрезок прямой, длина которого была бы в точности равна π. Однако существуют совершенно строгие доказательства трансцендентности числа тг и невозможности построения с помощью циркуля и линейки отрезка, длина которого выражается трансцендентным числом.

Предлагались сотни способов приближенного построения π; одно из наиболее точных построений основано на уже упоминавшемся нами приближенном представлении числа π в виде рациональной дроби, найденной китайским астрономом. Проведем в четверти единичного круга несколько линий (рис. 210) так, чтобы отрезок bc был равен 7/8 радиуса, dg — 1/2, отрезок de был параллелен отрезку ас, а df — параллелен отрезку be. Тогда, как легко видеть, расстояние fg равно 16/113, или 0,1415929… Поскольку 355/113 = 3 + 16/133, отложим отрезок втрое длиннее радиуса, продолжим его на расстояние fg и получим новый отрезок, длина которого отличается от π меньше чем на одну миллионную.

Рис. 210 Как построить отрезок прямой, длина которого отличается от π меньше чем на 0,0000003.

Тысячи людей, бившихся над решением задачи о квадратуре круга, были уверены, что им удалось построить отрезок, длина которого в точности равна π, но никто из них не смог превзойти английского философа Томаса Гоббса, в котором высокий интеллект сочетался с глубочайшим невежеством. Во времена Гоббса даже образованного англичанина не обучали математике, поэтому Гоббс до сорока лет не заглядывал в «Начала» Евклида. Впервые в жизни прочитав формулировку теоремы Пифагора, он воскликнул: «Боже, но это невозможно!» Однако затем шаг за шагом он проследил все доказательство и убедился в его правильности. С тех пор и до конца своей долгой жизни Гоббс с пылом влюбленного все свои помыслы безраздельно отдавал геометрии. «Геометрия чем-то напоминает вино», — писал он позднее. Рассказывают, что, когда у него под рукой не оказывалось более подходящей поверхности, Гоббс имел обыкновение чертить геометрические фигуры у себя на ноге или на простынях.

Если бы Гоббс так и остался любителем, то его последующие годы протекали бы более спокойно, однако чудовищное самомнение привело к тому, что он возомнил себя способным на великие математические открытия. В 1665 году, в возрасте 67 лет, он выпустил в свет на латинском языке книгу под названием «De corpore» («О телах»), в которой, помимо прочего, излагался остроумный метод решения задачи о квадратуре круга. Его метод и в самом деле позволял найти превосходное приближение числа π, но Гоббс считал свой метод точным. Джон Валлис, знаменитый английский математик и специалист по криптографии, изложил ошибки Гоббса в памфлете. Так началась самая продолжительная, нелепейшая и бесполезная словесная перепалка, в которой когда-либо участвовали два блестящих ума. Спор длился почти четверть века, обе стороны перемежали в своих публичных выступлениях едкий сарказм грубой бранью. Валлис продолжал бессмысленную «драку» отчасти ради собственного развлечения, отчасти для того, чтобы выставить Гоббса в смешном свете и тем самым очернить его религиозные и политические убеждения, которые Валлис порицал.