брауэровской эпистемологии.

„-(взаимодействие, разрушающее, между прочим, тот

(2') Онтологические проблемы. То, что объекты ма-

:/--идеал абсолютной очевидной достоверности, которого, тематики обязаны своим существованием отчасти язы-

как предполагалось, достигает интуитивное конструиро-

ку, иногда понималось самим Брауэром. Так, он писал

вание). Можно процитировать начало того отрывка из

в 1924 году: «Математика основывается («Der Mathe-

-его работы, который не только стимулировал меня на

matik liegt zugrunde») на бесконечной последователь-

дальнейшие исследования, по и поддержал мои'размыш-

ности знаков или символов («Zeichen») или на конечной

ления: «Понятие интуитивной ясности в математике са-

последовательности символов...» [6, с. 244]. Это не

мо не является интуитивно ясным. Можно даже по-

следует понимать как допущение приоритета языка: строить нисходящую шкалу степеней очевидности. Выс-

без сомнения, ключевым термином здесь является «по-

шую степень имеют такие утверждения, как 2+2 = 4.

следовательность», а понятие последовательности осно-

Однако 1002+2= 1004 имеет более низкую степень; мы

вывается на интуиции времени и на конструировании, доказываем это утверждение не фактическим подсче-

опирающемся на эту интуицию. Однако это утвержде-

том, а с помощью рассуждения, показывающего, что

ние показывает, что Брауэр знал о том, что для осуще-

вообще (п+2) +2 = п+4... [Высказывания подобно это-

ствления конструирования требуются знаки и символы.

му] уже имеют характер импликации: «Если построе-

Моя точка зрения состоит в том, что дискурсивное мыш-

но натуральное число п, то можно осуществить кон-

ление (то есть последовательность аргументов, выра-

струкцию, выражаемую равенством (n-f-2)+2 = n-f-4»

женных лингвистически) имеет огромное влияние на

[26, с. 225]. «Степени очевидности» Рейтинга имеют в

наше осознание времени и на развитие нашей интуиции

данный момент для нас второстепенный интерес, а бо-

последовательного расположения. Это никоим образом

лее важным выступает прежде всего исключительно

не расходится с конструктивизмом Брауэра,· но дей-

простой и ясный анализ Рейтингом необходимого взаи-

ствительно расходится с его субъективизмом и мента-

модействия между интуитивным конструированием и

лизмом, ибо объекты математики могут теперь рассмат-

его лингвистическим выражением, которое неизбежно

риваться как граждане объективного третьего мира: приводит нас к дискурсивному и тем самым к логиче-

хотя содержание мышления первоначально построено

скому рассуждению. Данный момент подчеркивается

нами (то есть третий мир возникает как продукт нашей

Рейтингом, когда он продолжает: «Эта степень может

деятельности), такое содержание обусловливает своп

быть формализована в исчислении со свободно пере-

собственные непреднамеренные следствия. Натураль-

менными» [26, с. 225].

ный ряд чисел, которые мы конструируем, создает про-

Наконец следует сказать о взаимоотношении Брауэ-

стые числа, которые мы открываем, а они в свою оче-

ра с математическим платонизмом. Автономия третьего

редь создают проблемы, о которых мы и не мечтали.

мира несомненна, и поскольку это так, то брауэровское

Вот именно так становится возможным математическое

равенство «esse = construi» должно быть отброшено, по

открытие. Подчеркнем, что самыми важными математи-

крайней мере в отношении проблем. Это, возможно, за-

ческими объектами, которые мы открываем, самым!!

ставит нас заново пересмотреть проблему логики ин-

благодатными гражданами третьего мира являются

туиционизма: не отбрасывая интуиционистских стандар-

именно проблемы и новые виды критических рассуж-

тов доказательства, следует подчеркнуть, что для кри-

дений. Таким образом, возникает некоторый новый вид

тического рационального обсуждения важно четко раз-

математического существования — проблемы, новый вид

личать между тезисом и очевидными свидетельствами

интуиции — интуиция, которая позволяет нам видеть

в его пользу. Однако это различие разрушается интуи-

проблемы и понимать проблемы до их решения (ср.

ционистской логикой, которая возникает из смешения

браузровскую центральную проблему континуума).

свидетельства (или доказательства) и утверждения, ко-

Рейтингом был прекрасно описан способ, которым

торое должно быть доказано (см. выше, разд. 5.4).

язык и дискурсивное мышление взаимодействуют с бо-

(3') Методологические проблемы. Первоначальным

478

479

мотивом интуиционистской математики Браузра была

пренебрежение третьим миром, следовательно, распро-

потребность в надежности, уверенности — поиски более

странена субъективистская эпистемология. В различ-

верных, надежных методов доказательства, фактически

ных конкретных науках часто можно обнаружить субъ-

непогрешимых методов. В этом случае, если вы хотите

ективистские тенденции, даже там, где не существует

более надежных доказательств, вы должны более стро-

связи с брауэровской математикой. Я рассмотрю неко-

го подходить к использованию демонстративной аргу-

торые такие тенденции в логике, теории вероятностей и

ментации: вы должны применять более слабые сред-

физической науке,

ства, более слабые предположения. Брауэр ограничи-

вается использованием логических средств, которые

7.1. Эпистемическая логика

были слабее, чем средства классической логики25. До-

казать теорему более слабыми средствами является

Эпистемическая логика оперирует такими формула-

(и всегда являлось) в значительной степени интересной

ми, как «а знает р» или «а знает, что р», «а верит в р»

задачей и одним из великих источников математических

или «а верит, что р». Обычно эти формулы символиче-

проблем. Этим и обусловлены интересы интуиционист-

ски записываются так:

ской методологии.

«Кар» или «Вар»,

Однако я полагаю, что сказанное справедливо лишь

где К и В соответственно означают отношения позна-

для доказательств. Для критики и опровержения мы не

ния и веры, α — познающего или верящего субъекта, нуждаемся в слабой логике. В то время как органон

р — суждение, которое известно или в которое верят, доказательства может быть достаточно слабым, орга-

а также соответствующее ему положение дел.

нон критики должен быть очень сильным. В критике

Мой первый тезис, выдвинутый в разд. 1, состоит в

мы не должны быть ограничены тем, что то или иное

том, что все это не имеет ничего общего с научным

доказательство невозможно, — мы ведь не утверждаем

познанием и знанием, а именно нельзя сказать, что

непогрешимость пашей критики и часто бываем удов-

ученый (я буду обозначать его S) или познает, или

летворены, если можем показать, что некоторая теория

верит во что-то. Что же он в действительности делает?

имеет контринтуитивные следствия. В органоне критики

Я приведу самый краткий список вариантов: слабость и экономия не являются добродетелями, ибо

«S пытается понять р»,

добродетель некоторой теории состоит в том, что она

«5 пытается думать об альтернативах р», может противостоять сильной критике. (Поэтому, по-

«S пытается думать о критических оценках р», видимому, в критических дебатах, так сказать в мета-

«S предлагает экспериментальную проверку р», дебатах о жизненности интуиционистского конструиро-