хотя кантовская теория подверглась подобному воздей-
чистую интуицию: наши чувства не могут делать свою
ствию.
работу, не упорядочивая свои восприятия в рамках
Таким образом, нет необходимости рассматривать
пространства и времени. Таким образом, пространство·
Брауэра как кантианца. Однако мы не можем так лег-
и время предшествуют всей чувственной интуиции; тео-
ко обособлять его от Канта, ибо идея интуиции у Брауэ-
рии пространства и времени — геометрия и арифмети-
ра и использование им термина «интуиция» не могут
ка— также верны a priori. Источник их априорной
быть полностью поняты без анализа такой его пред-
верности есть человеческая способность чистой интуи-
посылки, как кантовская философия.
ции, которая строго ограничена лишь этой областью и
Для Канта интуиция есть источник знания. И «чис-
четко отличается от интеллектуального или дискурсив-
тая» интуиция («чистая интуиция пространства и вре-
ного способа мышления.
мени») является неисчерпаемым источником знания: из
Кант защищает концепцию, что аксиомы математики
нее берет начало абсолютная уверенность. Это есть са-
основываются на чистой интуиции (см. [31, с. 613]): мое важное для понимания идей Брауэра, который яв-
они могут быть «увидены» или «восприняты» в качестве
но заимствует у Канта эту эпистемологическую кон-
истинных нечувственным способом «видения» или «вос-
цепцию.
приятия». Кроме того, чистая интуиция участвует в
Данная концепция имеет свою историю. Кант взял
каждом шаге каждого доказательства в геометрии (и в
ее у Плотина, Фомы Аквинского, Декарта и др. Перво-
математике вообще)
начально интуиция означает, конечно, восприятие: это
19. Чтобы следить за доказатель-
ством, нам требуется глядеть на (нарисованный) чер-
есть то, что мы видим или воспринимаем, если смотрим
теж. Это «смотрение» является не чувственной, а чис-
на некоторый объект или пристально его рассматриваем.
той интуицией, о чем свидетельствует то, что чертеж
Однако начиная по крайней мере уже с Плотина, раз-
часто может быть убедительным, даже если будет изо-
рабатывается противоположность между интуицией, с
бражен в довольно грубой манере, а также то, что ри-
одной стороны, и дискурсивным мышлением — с другой.
В соответствии с этим интуиция есть божественный спо-
соб познания чего-нибудь лишь одним взглядом, в один
18 У Канта «...конструировать понятие — значит показать a priori соответствующее ему созерцание» ι[31, с. 600]. Далее: «Мы старались
миг, вне времени, а дискурсивное мышление есть чело-
только ясно показать, как велико различие между дискурсивным при-
веческий способ познания, состоящий в том, что мы в
менением разума согласно понятиям и интуитивным применением его
ходе некоторого рассуждения, которое требует време-
посредством конструирования понятий» [31, с. 604]. «Конструирова-
ни, шаг за шагом развертываем нашу аргументацию.
ние понятий» в дальнейшем объясняется следующим образом: «Мы
можем свои понятия определить a priori в созерцании, создавая себе·
Кант защищает (направленную против Декарта) в пространстве и времени посредством однородного синтеза самые
концепцию, состоящую в том, что мы не владеем cnoj предметы» [31, с. 607].
собностью интеллектуальной интуиции и что по этой
19 См. у Канта место, где он говорит о доказательствах в мате-
причине наш интеллект, наши понятия остаются пус-
матике («даже в алгебре») : «Все выводы гарантированы от ошибок: тем, что каждый из них показан наглядно» [31, с. 614]. Кант говорит
тыми или аналитическими, если они в действительности
также о «цепи выводов», в которой философ «руководствуется все
не применены к материалу, который поставляют нам
время созерцанием» '[31, с. 602]. В том же самом разделе слово «кон-
наши чувства (чувственная интуиция), или если они
струировать» объясняется как «представить a priori в созерцании»·
[31, с. 601].
468
469
•сунок треугольника может выступать для нас (в одном
ее лингвистическим выражением и ее коммуникативной
рисунке) в виде бесконечного количества возможных
функцией. Математику саму по себе он рассматривал
вариантов треугольников всех форм и размеров.
как внелингвистическую деятельность, по существу, Аналогичные рассуждения справедливы и для ариф-
деятельность мысленного конструирования на основе
метики, которая, согласно Канту, основывается на сче-
нашей чистой интуиции времени. Посредством такого·
те— процессе, в свою очередь основывающемся, по су-
конструирования мы создаем в нашей интуиции, в на-
ществу, на чистой интуиции времени.
.—тем уме объекты математики, которые впоследствии —
Эта теория источников математического знания в
ι после их создания — мы можем попытаться описать или
своей кантовской форме порождает серьезные труд-
сообщить о них другим. Таким образом, лингвистиче-
ности. Даже если мы примем, что все сказанное Кан-
ское описание и дискурсивная аргументация со своей
том правильно, мы не можем уйти от трудных про-
. логикой появляются, в сущности, после математической
блем, ибо евклидова геометрия, независимо от того, деятельности: они всегда имеют место только тогда, использует она чистую интуицию или нет, несомненно, когда объекты математики — такие, как доказатель-
опирается на интеллектуальную аргументацию, логиче-
ство, — уже созданы.
скую дедукцию. Невозможно отрицать, что математика
Подход Брауэра решает проблему, которую мы об-
оперирует дискурсивным мышлением. Ход рассуждений
чНаружили в кантовской «Критике чистого разума». То, Евклида осуществляется шаг за шагом во всех сужде-
что на первый взгляд выступает противоречием у Кан-
ниях и во всех книгах: он не постигается в одно-един-
та, упраздняется, самым оригинальным способом посред-
ственное интуитивное мгновение. Даже если мы допу-
ством концепции, согласно которой мы должны четко
стим (ради аргументации) необходимость наличия чис-
различать два уровня: один уровень — интуитивный, той интуиции в каждом отдельном шаге рассуждений
мысленный и присущ математическому мышлению, дру-
без исключения (а это допущение для современных
гой — дискурсивный, лингвистический и присущ только
людей трудно сделать), ступенчатая, дискурсивная и
коммуникации.
логическая процедура выводов Евклида настолько без-
Подобно любой великой теории, ценность этой тео-
ошибочна и хорошо известна в целом, найдя подража-
рии Брауэра проявляется в ее продуктивности. Она од-
телей в лице Спинозы и Ньютона, что трудно подумать
ним усилием решает три группы крупных проблем фи-
о том, что Кант мог игнорировать это. Фактически
лософии математики.
Кант знал все это, вероятно, так же, как любой дру-
(1) Эпистемологические проблемы об источнике ма-
гой. Однако указанная позиция довлела над ним (1) в
тематической достоверности, природы математических
силу структуры «Критики чистого разума», в которой
данных и природы математического доказательства.
«Трансцендентальная эстетика» предшествует «Транс-
Эти проблемы соответственно решены с помощью кон-
цендентальной логике», и (2) в силу его четкого раз-
цепции интуиции как источника знания, концепции о
личения (я должен сказать, что это четкое различение
несостоятельно) между интуитивным и дискурсивным