1 том, что мы можем интуитивно видеть математически е
• объекты, которые конструируем, и концепции о том, мышлением. Распространена точка зрения, что кантов-
что математическое доказательство является последо-
ское исключение дискурсивных аргументов из геометрии
. нательным конструированием или построением конст-
и арифметики — не просто пробел, а противоречие.
рукций.
То, что это не соответствует действительности, было
(2) Онтологические проблемы о природе математи-
показано Брауэром, который заполнил данный пробел.
ческих объектов и способе их существования. Эти про-
Я имею в виду теорию Брауэра об отношении между
блемы были решены Брауэром посредством выдвиже-
математикой, с одной стороны, и языком и логикой —
- ния концепции, которая имела два аспекта: с одной сто-
с другой.
роны, конструктивизм, а с другой стороны, — мента-
Брауэр решил данную проблему тем, что провел
лизм. Согласно ментализму, все математические объек-
четкое различение между математикой как таковой и
ты находятся в той сфере, которую я называю «вторым.
470
471
:миром». Математические объекты — это конструкции че-
дать существование опровержения, то есть доказатель-
.ловеческого ума, и они существуют единственно как
ства ее абсурдности. Это непосредственно ведет к от-
конструкции в человеческом уме. Их объективность, то
брасыванию Брауэром закона исключенного третьего,, есть то, что они суть объекты и что они существуют
к его отрицанию косвенных доказательств и к требова-
объективно, всецело опирается на возможность повто-
нию, что существование может быть доказано только
рения их конструирования по нашему желанию.
реальным построением рассматриваемых математиче-
Таким образом, Брауэр в своей лекции 1912 года
ских объектов, то есть изображением их, так сказ'ать, ви-
предполагал, что для интуициониста математические
димыми.
объекты существуют в человеческом уме, в то время
Это также ведет к отрицанию Брауэром «платониз-
как для формалиста они существуют «на бумаге»
ма», под которым мы понимаем учение, согласно кото-
20.
(3) Методологические проблемы о математических
рому математические объекты обладают тем, что я на-
доказательствах.
зываю «автономным» способом существования: они
Мы можем упрощенно различать два главных под-
могут существовать, не будучи созданными нами и, хода ученых к математике. Одни математики могут
следовательно, без доказательства своего существова-
интересоваться главным образом теоремами — истин-
ния.
ностью или ошибочностью математических суждений, До сих пор я пытался понять брауэровскую эписте-
другие — главным образом доказательствами: вопроса-
мологию, исходя из предположения прежде всего, что
ми существования доказательств той или иной теоремы
она проистекает из попытки решить трудности филосо-
и спецификой таких доказательств. Если преобладаю-
фии математики Канта. Теперь я перейду к тому, что
щим является первый подход (как это имеет место, содержится в названии данного раздела, — к оценке и
например, в случае с Пойя), тогда он обычно связан с
критике брауэровской эпистемологии.
интересом в открытии математических «фактов» и по-
Исходя из положений настоящего доклада, можно
этому с платонизированной математической эвристикой.
утверждать, что одним из великих достижений Брауэра, Если же преобладающим выступает второй подход, тог-
по моему мнению, является его понимание того, что
да доказательства являются не просто средствами фор-
математика и, как я могу добавить, весь третий мир
мирования уверенности в теоремах о математических
созданы человеком.
объектах, а самостоятельными математическими объ-
Эта идея является настолько радикально антиплато-
ектами. Как мне кажется, так обстояло дело с Брауэ-
новской, что Брауэр, понятно, не видел возможности
ром: те построения, которые были доказательствами, не
ее связи с некоторой формой платонизма, под которой
только создавали и утверждали математические объек-
я имею в виду концепцию частичной автономии матема-
ты, они были в то же время сами математическими
тики и третьего мира в том виде, как она описана вы-
-объектами, возможно даже наиболее важными такими
ше, в разд. 3.
объектами. Таким образом, утверждать некоторую тео-
Другим великим достижением Брауэра в философ-
рему означало утверждать существование некоторого
ском плане был его антиформализм — признание им
доказательства для нее и отрицать ее означало утверж-
того, что математические объекты должны существо-
.вать до того, как мы можем говорить о них.
Позвольте теперь мне вернуться к критике брауэров-
20 См. конец третьег о параграф а работы Брауэр а [5]. Он пишет
ского решения трех групп главных проблем философии
там о существовании не математики, а «математической точности», математики, сформулированных ранее в данном раз-
и, как видно, этот отрывок относится к проблемам (1) и (3) даже
-больше, чем к онтологической проблеме (2). Однако не может быть
деле.
никакого сомнения в том, что он имеет определенное отношение к
(Г) Эпистемологические проблемы: интуиция в це-
проблеме (2). В данном отрывке Брауэр пишет так: «На вопрос, где
лом и теория времени в частности.
существует математическая точность, отвечают πα-разпому... Ин-
Я не предлагаю заменить название «интуиционизм».
туиционист говорит: «В человеческом интеллекте», формалист гово-
рит: «На бумаге»».
Это название, без сомнения, сохранится, но нам важна
473
отказаться от ошибочной философии интуиции как не-
стиц отличается от роли времени в физике твердого
погрешимого источника знания.
тела, особенно в оптике. В то время как физика эле-
Не существует авторитетных источников знания, н
ментарных частиц утверждает о существовании лезвие-
ни один «источник» не является абсолютно надеж-
подобного непротяженного мгновения, «pimctum tem-
ным21. Все приветствуется как источник вдохновения, poris», которое отделяет прошлое от будущего, и тем, стимулирования, включая «интуицию», особенно если
самым существование временной координаты, образо-
она предлагает нам новые проблемы. Однако ничто не
ванной из (континуума) непротяженных мгновений, а в
является несомненным, и все мы подвержены ошибкам.
конечном итоге мира, «состояние» которого может быть
К тому же следует подчеркнуть, что кантовское чет-
задано для любого такого непротяженного мгновения, кое различение между интуицией и дискурсивным мыш-
ситуация в оптике совершенно другая. Подобно тому
лением не может быть нами принято. «Интуиция», ка-
как существуют пространственно протяженные растры
кой бы она ни была, в значительной степени является
в оптике, чьи части взаимодействуют на значительном-
продуктом нашего культурного развития и наших успе-
пространственном расстоянии, так существуют и протя-
хов в дискурсивном мышлении. Кантовская идея об од-
женные во времени события (волны, обладающие часто-
ном стандартном типе чистой интуиции, присущем всем
тами), чьи части взаимодействуют в течение значитель-
нам (по всей вероятности, только не животным, хотя
ного промежутка времени. Поэтому в силу законов
их перцептуальные возможности сходны с человечески-
оптики в физике не может быть какого-либо состояния