Кристаллы могут обладать осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядков. Симметрию пятого порядка кристаллическая решетка иметь не может. Вы можете выложить паркет из треугольников, квадратов и шестиугольников, но не из пятиугольников. По той же причине пятиугольные («пентагональные»), формы никогда не встречаются у трехмерных кристаллов. В живой природе они встречаются часто. Большинство цветов (например, примула) и некоторые животные (например, морская звезда) обнаруживают пентагональную симметрию, но пентагональных кристаллов нет. Согласно строгим законам геометрии, структура кристаллической решетки не может иметь осей симметрии пятого порядка.

Как мы уже видели, у куба есть оси второго и четвертого порядков. А есть ли у него ось третьего порядка? Большинство людей поражается, когда им говорят, что у куба есть и такие оси — целых четыре штуки.

Упражнение 8. Найдите у куба четыре оси симметрии третьего порядка. Иными словами, найдите четыре такие оси, чтобы, вращая куб вокруг любой из них, можно последовательно добиться только трех (ни больше, ни меньше) абсолютно одинаковых положений.

Все эти примеры осевой симметрии можно назвать выполнимыми операциями по той простой причине, что они могут быть произведены в действительности. Тогда симметрию отражения следует называть невыполнимой операцией, потому что нет способа осуществить ее над каким-нибудь реальным твердым телом. Как мы уже знаем, двумерный плоский объект можно отразить, если взять его и перевернуть, но для этого мы должны оперировать с двумерным объектом в 3-пространстве. Точно так же мы смогли бы выполнить отражение над трехмерным твердым телом, если бы знали способ перевести его в пространство высшей размерности. Поскольку такого способа у нас нет, кристаллографы и называют такую операцию невыполнимой. Есть и другие типы невыполнимых операций симметрии, но мы и так уже уделили им больше внимания, чем следует. Симметрия кристаллов — сложная и увлекательная тема, на которую написано огромное количество книг; мы должны устоять перед искушением и не вдаваться в детали. Эта книга — о симметрии вообще. Мы занимаемся кристаллами лишь потому, что нас интересует симметрия отражения, и хотим знать, есть ли у кристаллов плоскость симметрии, совместимы ли они со своими зеркальными отражениями.

Многие минералы находят в виде бесформенных глыб, внешний вид которых не дает никаких или почти никаких указаний об их кристаллическом строении. Счастливым исключением является алмаз — форма кристаллического углерода. Его обычно находят в виде отдельных кристаллов, иногда поразительно правильной формы. Благодаря решетке кубической формы алмаз имеет несколько кристаллических разновидностей. Наиболее часто встречается форма, показанная на рис. 27 слева и известная в геометрии под названием октаэдр (восьмигранник). Обратите внимание на то, что все грани являются равносторонними треугольниками. Фигуры, ограниченные подобно этой плоскими гранями, называются многогранниками. Если многогранник можно положить на стол любой из его плоских сторон, он называется выпуклым. Если все ребра многогранника имеют одинаковую длину, а углы всех граней — одинаковую величину, он называется правильным многогранником.

Имеется только пять правильных выпуклых многогранников: тетраэдр, гексаэдр (куб), октаэдр, додекаэдр и икосаэдр. Иногда их называют «телами Платона», потому что Платон написал о них много интересного. В природе их находят в довольно необычных местах; недавно обнаружили, что некоторые вирусы имеют форму тетраэдров, додекаэдров и икосаэдров!

Ромбический додекаэдр (см. рис. 27, в центре) и гексагональный октаэдр (см. рис. 27, справа) —две другие поразительно красивые кристаллические формы, которые иногда имеет алмаз. Все три перечисленные кристаллические формы симметричны; каждая обладает многими плоскостями и осями симметрии, расположение которых определяется свойствами основной кристаллической решетки. Углерод приобретает кристаллическое строение алмаза, если его подвергнуть высокому давлению. Атомы в его решетке упакованы настолько плотно, что сблизить их еще больше почти невозможно; именно поэтому алмаз — самое твердое из веществ, известных в природе. Углерод может иметь кристаллическую решетку и другой формы, где атомы расположены менее тесно, — это графит, используемый в обычных карандашах, а когда кристаллическая структура разрушается полностью, получается древесный уголь или сажа. Вся разница между сажей, покрывающей печные стенки, и бриллиантом, сверкающим на женском пальце, заключается в различном порядке расположения углеродных атомов!

Очень распространенной кристаллической формой, почти такой же, как кубическая, является ромбоэдр, показанный на рис. 28. Все шесть граней у него в точности одинаковы, это ромбы, и все ребра имеют одинаковую длину. Это как будто куб, сжатый с двух противоположных углов. Такую форму имеют часто встречающиеся кристаллы минерала кальцита (углекислый кальций), а также азотнокислого натрия. Достаточно ли ясно вы представляете себе их форму, чтобы решить, симметрична она или нет?

Упражнение 9. Не прибегая к изготовлению картонной модели, можете ли вы обнаружить у ромбоэдра одну или несколько плоскостей симметрии? Конечно, если вы найдете даже единственную плоскость симметрии, тело будет симметричным и его можно совместить с отражением в зеркале.

Решетка некоторых известных в природе кристаллов обладает зеркальной симметрией, а решетка других кристаллов — нет. Кварц — наиболее распространенный минерал — имеет несимметричную решетку, которую нельзя совместить с зеркальным отражением. Химическое соединение, из которого состоит кварц, называется окисью кремния. Решетка его имеет спиральное строение и состоит из атомов кремния и вдвое большего числа атомов кислорода. Поскольку спираль эта может закручиваться вправо или влево, кварц встречается в двух энантиоморфных разновидностях. В природе кристаллы кварца принимают самые разнообразные формы, на которых, правда, асимметрия решетки отражается редко, но иногда встречаются и асимметричные кристаллы кварца (на рис. 29 показаны обе возможные формы: одна — зеркальное изображение другой).

При распространении луча света колебания происходят обычно во всевозможных плоскостях, проходящих через ось этого луча. Но есть кристаллы, у которых решетка ограничивает световые колебания в одной определенной плоскости; пример тому исландский шпат — прозрачная разновидность минерала кальцита. Световая волна, в которой колебания происходят в определенной плоскости, называется поляризованной. Когда поляризованный свет проходит через прозрачный кварц, асимметрия кристаллической решетки кварца вынуждает плоскость поляризации быстро вращаться по часовой стрелке или против. Отсюда вытекает простой метод обнаружения право-левой асимметрии кристаллической решетки. Киноварь (сульфид ртути) — рыжеватого цвета руда, служащая главным источником добычи ртути, — вращает плоскость поляризации света значительно сильнее, чем кварц. Ее асимметричная кристаллическая решетка состоит из спиральных цепей, образованных перемежающимися атомами серы и ртути. Эти цепи могут закручиваться вправо или влево, как показано на рис. 30. Мы спускаемся на третью ступеньку нашей лестницы и переходим к молекуле. Возникает вопрос: являются ли сами молекулы, рассматриваемые отдельно, вне любой кристаллической решетки, симметричными образованиями? Если да, то, где бы ни получалось химическое соединение — в природе или в лаборатории, — молекулы этого соединения при всех обстоятельствах будут одинаковыми и с одними и теми же свойствами. Но если некоторые молекулы представляют собой асимметричную конструкцию из атомов, то, может быть, можно найти или создать в лаборатории две совершенно различные формы одного и того же соединения. Одна форма будет содержать только «правые» молекулы, другая—только «левые». Два вещества будут одинаковыми во всех отношениях, кроме одного — их молекулы будут зеркальным отражением друг друга.