— Интересны эти задачи на вычисление насчет круглого поля! — заметил Илюша.

— Конечно, интересно! — откликнулся Асимптотос. — Крупные ученые-историки приходят к заключению, что у вавилонян неизбежно должно было возникнуть что-то вроде нашего доказательства, когда сложное решение вопроса опирается на целую цепь более простых соображений. Конечно, вряд ли им

— 302 —

приходило в голову интересоваться, как достигается тот или иной теоретический вывод, но им уже нельзя было обойтись без того, чтобы не пользоваться им.

— Когда все это было?

— У шумеров, — отвечал Коникос, — примерно в третьем тысячелетии до нашей эры, но там о теории, наверно, еще и слуху не было, а во втором и первом тысячелетиях до нашей эры процветал Вавилон, особенно в первой половине первого тысячелетия до нашей эры. Древняя Греция оказалась наследницей всего этого научного богатства.

— А как бы в общем сказать про эту древневосточную науку? — задумался Илюша.

— Пожалуй, — заметил Асимптотос, — верней всего было бы сказать, что это была наука писцов, чиновников, казенных канцелярий. Постепенно там родился интерес и к самому искусству вычисления, а из него мало-помалу выросла и алгебра в виде первых решений квадратных уравнений. Причем пока еще никто не мог найти ни одной практической задачи на Древнем Востоке, для которой было бы необходимо решение квадратного уравнения. Поэтому историки и считают, что это решение искали не для практики, а именно из чисто научного интереса. Наука Вавилона, видимо, была выше египетской. Одним из замечательных достижений шумеро-вавилонских ученых было построение позиционной системы счисления. Она, правда, была не такая, как наша общепринятая десятеричная, а была шестидесятеричная. Она еще и у нас осталась в делении окружности на триста шестьдесят градусов, час мы делим на шестьдесят минут, а минуту на шестьдесят секунд.

— Какая живучая система! — усмехнулся Радикс.

— Историки считают, — продолжал Коникос, — что изобретение позиционной, или поместной, системы настолько важно было для культурного развития человека, что это можно вполне сравнить с изобретением письменности. Вавилоняне знали теорему Пифагора — и не только для отдельных случаев, по и вообще. На одной вавилонской таблетке дано численное значение корня квадратного из двух, правильное до шестого десятичного знака[22]. Конечно, корень из двух, позволяющий увеличивать данную площадь вдвое, необходим в строительном деле. Но с такой точностью он ни одному столяру или каменотесу совсем не требуется. В деле строительства вполне можно было бы удовлетвориться двумя знаками, а впрочем, можно даже взять расчеты и погрубее.

— 303 —

— А помнишь ли ты, — спросил Радикс мальчика, — как с помощью корня из двух удваивается данная площадь?

— Еще бы! Если дан квадрат, а сторона равна единице, то диагональ по теореме Пифагора будет равна корню из двух. Вот и удвоение площади! Умножил сторону на этот корень и получил сторону квадрата с двойной площадью.

— Хорошо! Знаешь твердо. Учись, не отставай, и все будет в порядке. А мы всегда к твоим услугам.

Площадь квадрата, построенного на диагонали другого, вдвое больше площади последнего.

— Вот что еще мы можем рассказать тебе о Древнем Востоке, — добавил Коникос. — Примерно в начале первого тысячелетия нашей эры вокруг Средиземного моря происходят огромные перемены. К морским берегам из глубины континентов приходят новые люди. Бронзовые мечи и топоры заменяются железными, гораздо более удобными и дешевыми. Несколько столетий подряд на берегах Средиземного моря и его островах бушуют непрерывные битвы. Падает под ударами врага мощное Критское царство, которое было тоже центром культуры бронзового века. Впрочем, теперь археологи склоняются к мысли, что Критская островная культура могла погибнуть почтя внезапно из-за грандиозного извержения вулкана неподалеку, страшного землетрясения и всеразрушающих морских волн, которые называются цунами (они достигают огромной высоты и все уничтожают на своем пути, неожиданно обрушиваясь на сушу, а потом с той же силой стекая обратно в море). А затем под натиском «людей с моря» слабеет Египет. В Греции начинается новая культура, появляются мореплаватели, купцы, градостроители — люди, пользующиеся большой свободой по сравнению с вавилонянами и египтянами. Греческий город, а не дворец деспота становится хозяином нового мира. Восток пробует подчинить новую культуру — персидские полчища идут на греков и терпят неудачу. И вот в этом мире, где наука освободилась от религии, расцветает

— 304 —

новая мысль, жадно впитывающая все, что было создано на Востоке, и перерабатывающая все это древнейшее наследие.

Однако все же на территории Вавилона, несмотря на смены народов, научные труды и интересы сохраняются еще долгое время. Греческая культура была основана на труде рабов, которых приводили в страну в качестве военнопленных греческие воины. Тем не менее эта новая цивилизация создала нового любознательного человека, которого интересовали многие вопросы, особенно астрономия, а за ней математика, которая развивалась рядом с учением о правильном размышлении — логикой.

— Ну, разбираешься ли ты в том, что слышишь? — спросил Радикс.

— Кажется, разбираюсь. А если я в чем-нибудь запутаюсь, я потом спрошу тебя.

— Надо помнить, что новый мир Древней Греции, — взял слово Радикс, — породил людей, которые благодаря своему приволью и богатству занимались наукой не только по необходимости хозяйственной, а независимо от этого, ради желания проникнуть в суть научного рассуждения, в существо решения трудных задач. А затем греческие ученые постепенно стали переходить и к новым задачам, которых древневосточный мир либо не ставил, либо не придавал им особого значения.

— Вот мы вспоминали об удвоении площади, — добавил Коникос, — тут нужен корень из двух. В этом случае всего проще взять самое грубое приближение, то есть дробь 7/5, которая иначе 1,4, то есть корень из двух с точностью до первого десятичного знака. Если 7/5 возвести в квадрат, получается 49/25, или 1,96, то есть двойка с ошибкой на четыре сотых. Для плотника это отлично. Но греки на этом не хотели останавливаться и стали изучать теорему Пифагора (которую прекрасно знали и на Востоке) и вскоре открыли, что вся трудность не в вычислении, а в том, что корень из двух совсем необычное число, которое очень легко построить геометрически…

— А как его построить? — еще раз спросил Радикс, обращаясь к Илюше.

— Так это будет диагональ единичного квадрата, о котором мы только что говорили! — не задумываясь воскликнул Илья и посмотрел на Радикса.

— Молодец! — похвалил Асимптотос. — Признаться, не ожидал от тебя такой прыти!

— … очень легко построить, — продолжал Коникос, — но невозможно точно вычислить. Вот тогда открыли иррацио-

— 305 —

нальные числа, а затем придумали особенное построение, при помощи которого эту величину можно вычислить с любой степенью точности[23]. Одно открытие привело к другому.

— Значит, это было замечательное открытие!

— Конечно! Наука стала объяснять законы счета, проникать во все своеобразие этих законов. Халдей говорил: «Делай так, потому что иначе ничего не выйдет!» А грек говорил:

«Рассудок учит, что, делая вот так, ты следуешь законам мира чисел, а поступая иначе, ты эти законы безрассудно нарушаешь, поэтому-то ты в последнем случае и расплачиваешься ошибкой!»

— Но ведь халдей даже не знал об этих законах? — спросил Илюша.

— Действительно, не знал, вернее, не догадывался. Да ведь и греки не сразу догадались…

— Но зачем же древневосточным ученым нужен был корень квадратный из двух с такой точностью, которая на практике была им не нужна? — спросил Илюша.