— 288 —

же превратилась в целую сферу, то есть на лежащей ее половине тотчас же выросла и вторая (верхняя) половина шара. Теперь у этой сферы было два полюса — южный (старый) и северный (новый, верхний). Коникос принес откуда-то маленькую ярко светящуюся точку и положил ее на северный полюс сферы. В светлице стало темно, и лучи ярко светящейся точки северного полюса бросали резкие тени. На полу под сферой эти лучи сейчас же отчетливо нарисовали тень экватора, которая, конечно, оказалась правильным кругом. А внутри этого круга, разумеется, нарисовалась, отступя на некоторое расстояние от окружности, и тень ниточного треугольника.

— Смотри хорошенько! — произнес Коникос. — Видишь, как легли на полу тени тех следов, которые нацарапали на стекле полусферы пульки.

Это, конечно, и было самое интересное в этом волшебном опыте! Илюша заметил без особого труда, что следы пуль Коникоса рисуются на полу, как дуги кругов, перпендикулярных к тени экватора. Они и образовывали на полу своеобразный треугольник с вогнутыми внутрь сторонами. А треугольник этот был как бы «вписан» в самый обыкновенный евклидов равносторонний треугольник, который был тенью ниточного треугольника.

— Ну-с? — произнес Радикс.

И в тот же миг стало опять совершенно светло, а сфера и сияющая полярная точка исчезли. На полу остался лежать очень четкий чертеж круга и двух треугольников внутри его. Теперь уж не было никаких сомнений в том, что эти не-евклидовы углы много меньше евклидовых. Сумма углов равнялась 110°.

— Хорошо! — сказал Илюша. — На этом-то чертеже совершенно ясно, что углы не-евклидова треугольника гораздо меньше. Но разве тени следов пуль образуют те же углы, как и самые следы?

— Видишь ли, — терпеливо отвечал ему Радикс, — вообще, разумеется, не те же. Однако, если по отношению к лучу света плоскость угла отклонить в одну сторону, а плоскость, на кото-

— 289 —

рую ложится тень, — в другую, так, чтобы обе эти плоскости образовали с лучом светящейся точки равные углы, то тени дадут тот же самый угол, который и был у тебя. Попробуй-ка начерти сечение нашей сферы по меридиану и выясни, какие получатся углы. Ты без особого труда, я полагаю, убедишься, что в нашем случае углы будут в точности одинаковые… Следует еще помнить о том, что, имея дело с геометрией сферы, необходимо принимать во внимание ее размеры: именно это и определяет ее кривизну, как и для псевдосферы, то есть и для «воображаемой» геометрии. Сам Лобачевский полагал, что только физико-астрономические опыты могут дать нам материал для суждения о том, какая именно геометрия свойственна нашему пространству, в котором мы существуем. Поэтому тот, кто скажет, что великий русский геометр подходил к геометрии «как естествоиспытатель», будет очень близок к истине. Современные ученые полагают, что Лобачевский был прав в своих догадках: действительно, в некотором смысле геометрия нашего мирового пространства — это не-евклидова геометрия, хотя она и не совсем такая, как геометрия Лобачевского. А теперь, чтобы ты мог себе уяснить с помощью некоторой особой аналогии этот взгляд на геометрию, а вместе с тем познакомился и с другим примером осуществления геометрии Лобачевского, вспомним прежде всего, что геометрии на малых участках будут очень мало отличаться друг от друга, на чем бы они ни были — на плоскости, сфере или псевдосфере.

— Конечно, — отвечал мальчик, — небольшой кусочек сферы или псевдосферы трудно было бы отличить от плоскости.

— Вот, — продолжал Радикс, — если ты сообразишь, что измеряемые нами обычно расстояния слишком малы и не дают вообще возможности отличить свойственную нашему миру геометрию от евклидовой, то тебе станет ясной идея Лобачевского — решить вопрос о нашей геометрии с помощью астрономических опытов. Это раз. А затем скажи мне: сумеешь ли ты отличить дугу окружности от прямой?

— Еще бы! — отвечал, улыбаясь, Илюша. — Дуга имеет кривизну, а прямая нет.

— Ясно. Но вот представь себе: я начерчу на протяжении тридцати сантиметров дугу окружности радиусом длиной в несколько километров. Что ты тогда скажешь?

— На таком маленьком участке, пожалуй, никак не отличишь, — согласился Илюша. — Но ведь если дугу эту сделать не в тридцать сантиметров, а побольше, то сразу станет видно.

— Постой! — прервал его Радикс. — Именно этого мы сейчас делать и не станем. Будем рассматривать геометрию на небольшом участке плоскости, но вместо прямых будем проводить окружности очень больших радиусов. Для примера пусть

— 290 —

радиусы будут длиной около пяти километров, а мы будем при помощи таких радиусов чертить фигуры на обыкновенной классной доске. Вряд ли ты заподозришь, что они не проведены с помощью самой обыкновенной линейки.

— Наверно, нет! — усмехнулся Илюша.

— Сверх этого, мы будем все эти окружности чертить не как-нибудь, а с соблюдением некоторого особого условия: возьмем какую-нибудь очень далеко отстоящую от нас прямую и будем все центры окружностей выбирать на этой прямой.

— Очень далеко, — сказал Илюша, — то есть около пяти километров?

— Пусть так, — согласился Радикс. — А потом вот еще что. Чтобы подчеркнуть, что эти окружности заменяют нам прямые (они у нас так и будут называться «прямые», в кавычках), будем называть линию их центров «бесконечно удаленной» в нашей геометрии.

— Ну да, — подхватил Илюша, — ведь, вероятно, потому, что дуга окружности тем больше похожа на прямую, чем больше ее радиус, иногда и говорят, что прямая — это окружность бесконечного радиуса?

— Именно поэтому! — отвечал Радикс. — А теперь давай рассмотрим, какая геометрия получится на большом расстоянии от нашей «бесконечно удаленной» прямой. Начнем с того, что выясним, можно ли в таких условиях провести через две данные точки одну «прямую», и только одну.

— Да ведь это сводится к задаче провести через две данные точки окружность, центр которой лежал бы на данной прямой? Это очень просто сделать.

— Ну, а будет ли в нашей геометрии «прямых» правильно, что две прямые пересекаются в одной точке?

— Если, — сказал, подумав, Илюша, — мы будем рассматривать все только по одну сторону от линии центров, то есть только полуокружности, да еще без их крайних точек, потому что они ведь тоже попадают на эту «бесконечно удаленную» прямую (я думаю, мы можем ее считать просто для нас недоступной), то, разумеется, две полуокружности могут пересечься только в одной точке.

— Видишь, ты и сам замечаешь, что наши «прямые» этими своими свойствами, как, впрочем, и многими другими, не будут отличаться от обыкновенных евклидовых прямых, а на малом участке вдали от центров ты и по виду их от прямых не отличишь. Тебе будет казаться, что ты имеешь дело с обыкновенной геометрией Евклида. Там можно строить треугольники, восстанавливать и опускать перпендикуляры и так далее. Однако если спросить, сколько «прямых», не пересекающих данную, можно провести через точку вне этой прямой,

— 291 —

Через всякие две точки М и N можно провести одну, и только одну, «прямую».

Две «прямые» могут пересекаться только в одной точке.

то хотя на глаз на малом участке будет казаться, что все обстоит так же, как обычно, но на самом деле именно здесь-то и обнаружится, что в действительности наши «прямые» подчиняются не законам Евклида, а законам геометрии Лобачевского.

— Как же это так получается? — спросил удивленный Илюша.

— Посмотри внимательно на чертеж! Вспомни, что мы с тобой условились рассматривать только часть площади по одну сторону от линии центров, которую мы к нашему пространству не причисляем, считая ее геометрическим местом «бесконечно удаленных» точек нашей геометрии. Если дана «прямая» АВ, то есть полуокружность с центром в точке С «бесконечно удаленной» линии, и точка М, не лежащая на АВ (скажем для определенности, расположенная на большем расстоянии от С), то получится вот что: кроме полуокружности радиусом СМ, можно провести через точку М любое количество «прямых», не пересекающихся с «прямой» АВ, слегка смещая центр из точки С по горизонтали и соответственно изменяя радиус.