— Заметь, — сказал Асимптотос, — что если вершины треугольника будут лежать на самом срезе полусферы, то есть на ее экваторе, то все дуги «прямых», то есть вертикальных сечений сферы, проходящие через эту точку, будут иметь общую касательную вертикаль, а угол, образованный этими дугами, поэтому будет
— 285 —
равен нулю. (Вспомни, как Коникос учил тебя измерять угол между кривыми!) Но если немного сдвинуть вершину треугольника вверх по полусфере, как мы это сделали, то касательные наклонятся и разойдутся: это и даст нам возможность применять нашу пистолю. Но так как мы сдвинулись немного вверх, то и угол между двумя положениями ствола пистоли Коникоса, то есть угол треугольника, будет очень мал, и он будет тем меньше, чем ближе вершина к экватору. Я вырежу еще такой же треугольник, только расположенный повыше и площадью поменьше.
Снова Асимптотос начертил круг, затем снова вписал в него равносторонний треугольник ABC, а затем начертил внутри этого треугольника еще один — А1В1С1, поменьше, подобный первому и симметрично расположенный. (Смотри на картинке, стр. 284{11}.)
После этого он взял нож и вырезал еще один треугольник, уложив, разумеется, предварительно на чертеж еще одну половину сферы.
— А теперь, — заявил Коникос, — мы будем утверждать, что данные два треугольника по своим свойствам суть не что иное, как треугольники Лобачевского! Доказать тебе, наш юный друг, это обстоятельство было бы хлопотливо, однако это так. Поверь на слово. Был один француз-математик в истекшем столетии, который нашел это и доказал довольно-таки точно и неоспоримо.
Нахмуренная физиономия доктора У. У. Уникурсальяна немедленно появилась среди почтенной компании.
— Не следует, — сказал он, — утверждать того, чего ты не можешь доказать.
— Докажи, что я неправ! — предложил Коникос.
Но в ответ на это Доктор Четных и Нечетных почему-то отвернулся да и растаял втихомолку.
— Теперь далее! — наставительно произнес Асимптотос. — Слушай-ка хорошенько да мотай на ус. Тебе, я думаю, совершенно ясно, что эти два плоскостных треугольника, которые у меня были чем-то вроде выкроек для не-евклидовых треугольников, подобны друг другу?
— Абсолютно ясно! — заявил Илюша.
— А ну-ка, — продолжал словоохотливый старичок, — проверим-ка, подобны ли эти два удивительных не-евклидовых треугольника.
Сперва Илюша не мог сообразить, как ему взяться за эту проверку подобия, но затем придумал. Он положил оба треугольника на половинку сферы. Большой треугольник кое-как закрепил (кажется, кнопками), а малый стал передвигать так, что он скользил по сфере и по большому треугольнику. Он
— 286 —
рассуждал: если эти треугольники подобны, то углы у них равны, а следовательно, можно вдвинуть один из углов малого треугольника в один из углов большого, а если углы равны, то две стороны малого должны совпасть с двумя сторонами большого. Сказано — сделано! И вот, представьте себе, когда он пододвинул один из углов малого треугольника к одному из углов большого, то стороны малого не только не пошли по сторонам большого, не только не совпали с ними, а даже закрыли стороны большого, так что Илюша должен был заключить, что углы малого треугольника больше — и заметно больше! — углов большого треугольника.
— Вот тебе и раз! — сказал Илюша. — Не подобны, нет… И, честное слово, я не понимаю, как это выходит!
— Дело вот в чем, — серьезным тоном проговорил Коникос. — Мы уже тебе говорили, что сумма углов в не-евклидовых треугольниках не есть величина постоянная, в противоположность евклидовым треугольникам, где сумма углов всегда постоянна и равна, как тебе известно, ста восьмидесяти градусам. Мало этого, в не-евклидовых треугольниках сумма углов связана с их площадью. Причем если ты имеешь дело со сферическими треугольниками, то там чем больше площадь треугольника, тем больше и сумма его углов, и ты сам видел треугольник, сумма углов которого доходила до трех прямых углов. В треугольнике Лобачевского дело обстоит в некотором отношении так же, а в некотором — как раз наоборот. Там тоже сумма углов треугольника связана с площадью, но в обратном отношении, то есть чем больше сумма углов треугольника, тем меньше его площадь, и обратно, пока сумма углов не дойдет до своего естественного предела, то есть станет равной нулю для треугольников, все вершины которых лежат на экваторе сферы. Но уж это в геометрии Лобачевского, собственно, не треугольники, а фигуры, образованные тремя попарно параллельными прямыми. В силу именно этих обстоятельств ты и видишь сейчас, что каждый из взаимно равных углов равностороннего малого не-евклидова треугольника больше любого угла такого же большого треугольника, и так должно быть! А отсюда следует вывод чрезвычайно в данном случае значительный: никаких подобных фигур в не-евклидовых геометриях не существует, и там невозможно построить фигуру, подобную данной, но имеющую иные размеры. Если нам с тобой повстречаются два треугольника с соответственно равными углами, то нетрудно будет убедиться, что эти треугольники равны. Любопытно еще и то, что площадь такого треугольника ограничена и не может превысить некоторой определенной величины, как бы мы ни увеличивали его стороны, ибо площадь эта прямо пропорциональна разности
— 287 —
[180°— (α + β+γ)], где α, β и γ суть углы треугольника. А наше выражение в квадратных скобках, очевидно, не может быть больше ста восьмидесяти градусов. Однако и этого еще мало, и этим не исчерпываются необычайные чудеса этой геометрии. В ней мы имеем возможность определить отрезок через угол. Ибо коль скоро треугольник вполне определяется своими тремя углами, то я могу точно определить отрезок, указав, что он является стороной равностороннего треугольника с заданным углом (меньшим, разумеется, нежели две трети прямого угла). Отсюда можно сделать один удивительный вывод. Тогда как в обычном мире необходим эталон (то есть образчик) меры длины — метр, ярд, сажень, — в мире «воображаемой» геометрии в таковом эталоне нет надобности. Там с помощью геометрического построения, как бы исходя из свойств самого пространства, мы строим единицу длины наподобие того, как в евклидовой геометрии строится прямой угол (то, что мы потом его делим на девяносто градусов, к его величине касательства не имеет.)
— Сумма углов равностороннего треугольника Лобачевского, — промолвил Асимптотос, — поистине меньше двух прямых, ибо каждый из них меньше чем шестьдесят градусов. Мы можем тебе показать это.
Снова перед Илюшей выросла полусфера высотой в один метр. Линии, которые провели по стеклу круглые пули Коникоса, были прекрасно видны. Асимптотос подошел к полусфере и лёгонько толкнул ее пальцем. Полусфера закачалась, перевернулась своим срезом (основанием) вверх.
Асимптотос взял ниточку и, нагнувшись над опрокинутой полюсом вниз полусферой, закрепил один конец нитки в одной из трех точек внутри полусферы, где пересекались два следа пуль. Илюша внимательно следил за всеми этими приготовлениями. Затем Асимптотос, туго натянув нитку, повел ее к другой точке пересечения следов не-евклидовой пальбы и закрепил во второй точке, а затем и в третьей точке. Наконец он потянул ниточку из третьей точки снова в первую и закрепил ее там, где она вся и кончилась. Таким образом, внутри полусферы в воздухе повис туго натянутый ниточный равносторонний треугольник. Он висел, разумеется, так, что плоскость его была параллельна полу.
— Теперь это будет тот самый треугольник, который Коникос чертил на полу и о котором ты еще высказал такое авторитетное мнение… насчет суммы его углов, помнишь?
Илюша очень хорошо помнил свое «авторитетное мнение», только ему совсем не хотелось, чтобы и другие об этом вспоминали…
Асимптотос похлопал рукой по краю полусферы, и она тут