— Да! — сказал Илюша. — Правда, очень просто! А что же это за кривая?

— Кривая эта называется квадратрисой. Это гораздо более хитрая кривая, чем те, с которыми древние геометры имели дело до нее. Следовательно, древним для решения этой задачи пришлось изобрести новую кривую. Именно это решение и вводит в ход рассуждения движущиеся линии, тогда как раньше речь шла только о соотношениях неподвижных линий. Говорят, философы были недовольны и считали, что это решение не геометрическое, а механическое. Но опыт показывал, что решение получается скоро и просто.

— Вот, значит, — добавил Асимптотос, — и выходит, что, заставив точку непрерывно двигаться и, полагая, что она, дви-

— 313 —

гаясь, может начертить кривую, мы и получаем несложное средство для деления угла на любые части. Только в дальнейшем выяснилось, что сама эта кривая значительно сложнее и окружности и параболы. Но тем не менее был найден новый способ для решения задач. Это одна из так называемых «механических кривых» древности. «Механической» она называлась потому, что ее тогда невозможно было обосновать теоретически из геометрических соображений. И как ни странно, ни одна из таких «механических» кривых не повлияла непосредственно на развитие древней науки. Они стали приносить пользу только уже во времена Ньютона. Древняя математика еще не в силах была осмыслить их. Догадаться, как надо сделать, смогли, а рассудить почему — не сумели. Поэтому и философы ворчали и говорили, что это «не настоящая» геометрия.

— Однако имей в виду, — заметил Радикс, — что в руках Архимеда этот способ чертить кривые при помощи движущейся точки дал необыкновенный результат.

— Какой?

— Ты, наверно, знаешь, что такое граммофонная пластинка?

— Еще бы! — отвечал Илья не без удивления. — У нас их очень много.

— Очень хорошо — одобрил Радикс. — А теперь скажи, пожалуйста, какую кривую описывает иголка звукоснимателя, когда она бежит по бороздке пластинки?

— Папа говорит, что это спираль…

— Верно. Так эту самую спираль и нашел Архимед. Она так и называется «спираль Архимеда». Точка чертит спираль.

— А как она чертит? Я понимаю, как иголка бежит по пластинке. Но как это получается с точкой?

— В проигрывателе пластинка вращается. Но в нашем опыте мы ее оставим неподвижной, а в центре укрепим отрезок прямой и, пользуясь нашими волшебными возможностями, прикажем отрезку: вращайся вокруг этой средней точки против часовой стрелки (это направление мы будем считать положительным), но при этом увеличивайся в длине в соответствии с углом, на который ты повернулся. Чтобы нам удобней отсчитывать вращение отрезка, мы направо от точки в середине проведем горизонтальную прямую и назовем ее полярной осью. Пока отрезок — радиус-вектор — будет еще лежать на полярной оси, угол его с ней равен нулю, а затем он будет увеличиваться. Итак, вперед!

Тотчас в полутьме возникло все, что заказал Радикс: в середине светилась оранжевая точка, а от нее направо шла ро—

— 314 —

зовая полярная ось. Что-то очень маленькое лежало на этой оси…

— А, Мнимий Радиксович! Мое почтение! — воскликнул Илюша.

И Мнимий, возникший из средней точки, стал вращаться, постепенно вырастая, и своим кончиком чертить спираль Архимеда. Описав несколько витков, Мнимий исчез, а спираль так и осталась висеть в воздухе.

— Эта спираль, — сказал Коникос, — умеет делить как угодно любые углы. А с ее помощью Архимед даже построил очень точно длину, окружности.

— Длину окружности? — воскликнул Илюша. — Да ведь это что-то вроде квадратуры круга! Разве это можно?

— Для такой умницы спирали оказалось возможным, — произнес Коникос[25].

— Так вот каким образом греки, решая геометрические задачи, пришли, во-первых, к новым основаниям для геометрических суждений и убедились до некоторой степени, что геометрия не такова, какой они себе ее представляли; во-вторых, они пришли к новым кривым, неизвестным египетским вервиетягателям, о которых вспоминал Демокрит. Именно его атомистическая теория, кстати сказать, и привела к новым удивительнейшим открытиям в математике.

— Как же это так? — спросил Илюша. — Ведь атомы — это касается физики и химии. А при чем здесь математика?

— Мы уже говорили о том, как связана математика с изучением природы, поэтому вполне естественно, что человек, который пришел к убеждению, что весь мир состоит из атомов, начинает думать и о том, что геометрические образы, то

— 315 —

есть кривые, площади, объемы, тоже как бы составлены из некоторых элементарных частиц. Кроме того, в таком деле играет очень большую роль опыт. В одном своем сочинении Архимед рассказывает, что Демокрит нашел объем конуса и показал, что его объем равен одной трети объема цилиндра с тем же основанием и той же высотой. Проверить это на практике, то есть путем опыта, ровно ничего не составляет. Любой слесарь сделает тебе цилиндр, то есть ведерко, и конус. Налей в ведерко воды, смеряй конусом, сколько ее там, и найдешь это соотношение. Вот что говорит тебе опыт. Если не поверишь первому опыту, можешь повторить его, сделав цилиндр и конус, например, с другим основанием. И снова ты убедишься, что соотношение это правильно. Необходимо только найти логический способ, которым можно это доказать без участия слесаря.

— Значит, Демокрит раньше теоремы своей уже знал это решение? — спросил заинтересованный Илюша.

— Возможно, что и так. Возможно и обратное. Может быть, он сперва вывел свою теорему, а потом проверил ее на опыте. Но еще более вероятно, что он узнал ее от слесаря, кузнеца или медника, которые благодаря своему ремеслу сталкивались с такого рода соотношениями уже не раз. Кстати сказать, теорема эта была доказана со всей необходимой строгостью гораздо позже Демокрита. Весь вопрос заключался в том, чтобы вывести это — такое простое на вид — соотношение теоретически. И я не знаю, с чего начал Демокрит: атомистическая ли теория привела его к этому решению или это решение привело его к мысли об атомах.

— Как это интересно! — воскликнул Илюша. — Значит, у них и физика, и философия, и геометрия — все было вместе?

— Конечно. Над входом в одну греческую академию было написано: «Да не входит сюда никто, кто не знает геометрии!»

— А как Демокрит решил эту задачу?

— Решил он ее вот как. Он предположил, что конус можно весь разрезать на очень тоненькие кружочки, если резать параллельно основанию, то есть на цилиндрики с очень малой высотой. Правило, по которому изменяется диаметр кружков, вывести не очень трудно. Мы этого пока еще делать не будем, так как сейчас речь не о выводе формулы, а о способе рассуждения, с помощью которого ее можно вывести. Теперь допустим, что цилиндриков не только очень много и толщина их ничтожно мала, но что число их безгранично увеличивается, а толщина тем же порядком уменьшается. Конус заменяется ступенчатой фигурой из кружков. Конечно, это ступенчатое тело не есть конус, но чем дальше я буду уменьшать толщину кружков, которых будет накопляться все больше и больше,

— 316 —

тем меньше это ступенчатое тело будет отличаться от конуса.

Допустим, что высота конуса равна 500 мм, а цилиндрики, на которые его режем, сделаны из бумаги, толщина которой примерно равна 0,05 мм, следовательно, всего в конусе их будет десять тысяч. Вряд ли такой конус, склеенный из десяти тысяч листов бумаги, можно отличить от сделанного, скажем, из гипса. А так как объемы цилиндров определить нетрудно, то таким путем мы определим и объем конуса.

Конус разбивается на маленькие цилиндры.

— Что-то я плохо понимаю, — грустно сказал Илюша.

— Ничего! Не падай духом! Слушан хорошенько и понемногу поймешь, — подбодрил его Радикс. — Ясно, что когда я заменяю маленький усеченный конус маленьким цилиндром, то делаю ошибку. Но эта ошибка, вычисленная в процентном отношении к измеряемой величине (так называемая «относительная ошибка»), будет сколь угодно мала. Ведь можно взять настолько тонкие кружки, что объем, которым я пренебрегаю, составит, например, менее одной десятой, либо сотой, либо тысячной процента и так далее по отношению к объему конусика (или цилиндрика; считай как хочешь, это неважно). Но раз это так, то нетрудно сообразить, что если суммировать цилиндрики, то и искомый объем большого конуса тоже будет с той же относительной ошибкой, то есть менее одной десятой, либо сотой, либо тысячной процента и так далее по отношению к истинному объему. Следишь ли ты за развитием моего рассуждения?