ря, существует только один пустой класс.) Если мы
обозначим эмпирическое высказывание через е, тавто-
логию и метафизическое высказывание (к примеру, чисто экзистенциальное высказывание) соответственно
через t и т, то тавтологическим и метафизическим вы-
сказываниям можно будет приписать нулевую степень
фальсифицируемости и записать: Fsb(t)~Fsb(m)—0 и
Fsb(e)>0.
Можно сказать, что противоречивое высказывание
(которое обозначим через с) имеет в качестве класса
потенциальных фальсификаторов класс всех логически
возможных базисных высказываний. Это означает, что
с противоречивым высказыванием любое высказывание
сравнимо по степени его фальсифицируемости. Таким
0)
образом, мы имеем Fsb(c)>Fsb(e)>Q (см. также [70, прил.
"VII]). Если
мы произвольно положим
Fsb(c) = l, то есть произвольно припишем
ветствуют римским цифрам слева таким образом, что
число 1 степени фальсифицируемости противоречивого
римская цифра обозначает класс потенциальных фаль-
высказывания, то мы можем определить степень фаль-
сификаторов высказывания, помеченного соответствую-
сифицируемости эмпирического высказывания е при
щей арабской цифрой. Стрелки на диаграмме, отра-
помощи условия \>Fsb(e)>Q. Согласно этой формуле, жающие степени проверяемости, идут от лучше про-
Fsb(e) всегда находится в интервале между 0 и 1, веряемых, в большей степени фальсифицируемых, вы-
исключая его границы, то есть в «открытом интервале», сказываний к высказываниям, которые не столь хоро-
ограниченном числами 0 и 1. Эта формула, исключаю-
шо проверяемы. (Следовательно, они в точности соот-
щая противоречие и тавтологию (как и метафизические
ветствуют стрелкам, отражающим отношение выводи-
высказывания), выражает одновременно и требование
мости.—См. разд. 35.)
непротиворечивости, и требование фальсифицируемости.
Из рисунка хорошо видно, что можно выделить
различные последовательности подклассов, например
34. Структура отношения включения классов.
последовательности I—II—IV или I—III—V, и что та-
Логическая вероятность
кие последовательности можно еще «уплотнить», вводя
новые промежуточные классы. Все такие последователь-
Мы провели сравнение степени фальсифицируемости
ности начинаются в данном конкретном случае с l n двух высказываний, воспользовавшись отношением
заканчиваются пустым классом, поскольку он включает-
154
155
ея в любой класс. (Пустой класс не может быть изоб-
бы высказывание, которое расположено ближе к проти-
ражен на нашем рисунке слева просто потому, что он
воречию (с), всегда получало большее число, чем выска-
является подклассом любого класса и поэтому должен
зывание, расположенное ближе к тавтологии ( t ) . По-
.присутствовать, так сказать, везде.) Если мы решим
скольку мы уже приписали числа 0 и 1 соответственно
отождествить класс 1 с, классом всех возможных ба-
тавтологии и противоречию, то нам следует приписы-
.зисных высказываний, то 1 станет противоречием (с), вать эмпирическим высказываниям выбранной последо-
а О (соответствующий пустому классу) будет тогда
вательности правильные дроби.
обозначать тавтологию ( i ) . Возможны различные пути, Конечно, я не собираюсь реально выделять и ис-
ведущие от 1 к пустому классу, или от (с) к ( t ) . Неко-
следовать какую-либо такую последовательность. Да и
торые из них, как можно видеть на правой части ри-
приписывание чисел высказываниям, принадлежащим
сунка, могут пересекаться друг с другом. Следователь-
такой последовательности, будет совершенно произ-
но, мы можем сказать, что структура таких отноше-
вольным. Тем не менее сам факт возможности припи-
ний представляет собой решеточную структуру («ре-
сывания дробных чисел эмпирическим высказываниям
шетку последовательностей, упорядоченных стрелкой, представляет огромный интерес, особенно потому, что
или отношением включения). Имеются узловые точки
он проливает свет па связь между степенью фальсифи-
(например, высказывания 4 и 5), в которых решетка
цируемости и понятием вероятности. Всякий раз, когда
частично связана. Отношение полностью связано толь-
мы можем сравнить степени фальсифицируемости двух
ко в универсальном классе и в пустом классе, соот-
высказываний, мы можем сказать, что высказывание, ветствующем противоречию (с) и тавтологии ( t ) .
являющееся менее фальсифицируемым, одновременно
Возможно ли расположить степени фальсифицируе-
является на основании своей логической формы более
мости различных высказываний на одной шкале, то
вероятным. Такую вероятность я называю*5 «логической
есть сопоставить различным высказываниям числа, ко-
вероятностью»6. Ее не следует путать с численной ве-
торые упорядочивали бы их по степени их фальсифи-
роятностью, которая применяется в теории азартных
цируемости? Конечно, мы не имеем возможности упо-
игр и статистике. Логическая вероятность высказыва-
рядочить таким образом все высказывания*
ния является дополнением его степени фальсифицируе-
4 , так как
если бы мы сделали это, то нам следовало бы произ-
мости, она увеличивается с уменьшением степени фаль-
вольно превратить несравнимые высказывания в сравни-
сифицируемости. Логическая вероятность 1 соответ-
мые. Однако ничто не мешает нам выбрать одну из по-
ствует степени фальсифицируемости 0, и наоборот.
следовательностей, принадлежащих данной решетке, и
Лучше проверяемое высказывание, то есть высказыва-
указать порядок этих высказываний при помощи чисел.
При этом мы должны действовать таким образом, что-
*5 Ныне (с 1938 г., см. [70, прил. *П]) я использую термин «аб-
солютная логическая вероятность», а не термин «логическая вероят-
*
ность», для того чтобы отличить ее от «относительной логической ве-
4 Я все еще убежден, что попытка сделать все высказывания
.сравнимыми при помощи введения метрики должна содержать произ-
роятности» (или «условной логической вероятности»), см. также
вольный, внелогический элемент. Это совершенно очевидно для слу-
[70, прил. «IV, *VII —*1Х].
чая высказываний типа: «Рост всех взрослых людей больше двух фу-
6 Этому понятию логической вероятности (обратному поняти ю
тов» (или «Рост всех взрослых людей меньше девяти футов»), то есть
проверяемости) соответствует введенное Больцано понятие общезна-
высказываний с предикатами, выражающими измеримое свойство.
чимости, в особенности когда он применяет это понятие к сравнению
Можно показать, что метрика содержания, или фальсифицируемости, высказываний. Так, Больцано описывает большие посылки в отно-
обязательно будет функцией метрики предиката, а последняя всегда
шении выводимости как высказывания меньшей общезначимости, должна содержать произвольный и, уж во всяком случае, внелогиче-
а следствия—· как высказывания большей общезначимости [4, т. II, ский элемент. Конечно, можно конструировать искусственные языки
§ 157, № 1]. Отношение этого понятия общезначимости к понятию
« заданной метрикой. Однако получающаяся при этом мера не бу-
вероятности объясняется Больцано в ,[4, т. II, § 147], ср. также ра-
дет чисто логической, сколь бы «очевидной» она нам ни казалась, по-