Первая самостоятельная работа одаренного студента называлась «К введению трансформаторных ординарных чисел» и была опубликована в 1923 году в сборнике работ Сегедского университета. По предложению А. Френкеля, Нейман построил замечательную систему аксиом теории множеств, настолько простую, как гильбертовая для евклидовой геометрии. В 1925 году он получил диплом инженера-химика в Цюрихе и успешно защитил диссертацию «Аксиоматическое построение теории множеств» в Будапештском университете, получив звание доктора философии.

Подающий большие надежды молодой ученый, получив Рокфеллеровскую стипендию, в 1926 году выехал в Германию, чтобы продолжить обучение в Геттингене. Он изменил свое имя и превратился в Йоганна фон Неймана. В то время в университете преподавали такие светила, как К. Рунге, Ф. Клейн, Э. Ландау, Д. Гильберт, Э. Цермело, Г. Вейль, Г. Минковский, Ф. Франк, М. Борн и другие. Здесь Нейман познакомился с Д. Гильбертом и вскоре стал его внештатным ассистентом. В университете в тот период разрабатывались основы квантовой механики и Йоганн принял в этом активное участие. Совместно с Д. Гильбертом и Л. Нордгеймом он написал статью «Об основании квантовой механики», а затем целый ряд работ на эту тему, ставших прочной математической основой статического обоснования квантовой механики. На их базе было выведено новое понятие – матрица плотности. Все эти труды стали фундаментом нового цикла по теории операторов, благодаря которому фон Нейман считается основоположником современного функционального анализа.

В 1927 году перспективный ученый стал приват-доцентом Берлинского, а два года спустя Гамбургского университетов. В то время им были разработаны основополагающие работы больших циклов: теории множеств, теории и математическому обоснованию квантовой механики. Йоганн, переселившись в Берлин, продолжал тесно сотрудничать с коллегами по Геттинскому университету, особенно с крупнейшим специалистом по функциональному анализу Э. Шмидтом.

За два года Йоганн опубликовал около 20 работ. Наиболее значительная среди них «К теории стратегических игр» (1928), где он доказал теорему о минимаксе. Эта работа стала краеугольным камнем возникшей позже теории игр. Теорема фон Неймана утверждает, что «когда двое играют в игру, по правилам которой выигрыш одного игрока равен проигрышу другого, то при этом каждый игрок может выбирать из конечного числа стратегий. При этом игрок считает, что противник действует наилучшим для себя образом». Теорема фон Неймана утверждает, что в такой ситуации существует «устойчивая» пара стратегий, для которых минимальный проигрыш одного игрока совпадает с максимальным выигрышем другого. Устойчивость стратегий означает, что каждый из игроков, отклоняясь от оптимальной стратегии лишь ухудшает свои шансы, и ему приходится вернуться к оптимальной стратегии.

В 1929 году фон Нейман издал «Общую спектральную теорию эрмитовых операторов» и получил приглашение провести один семестр в Пристоне. В Америке он почувствовал себя как дома, к тому же ему вскоре предложили работу на кафедре. Теперь его звали Джон Нейман.

Незадолго до своего переезда в Пристон ученый женился на Мариэтте Кевеши. Обладая общительным и жизнерадостным нравом, она часто устраивала званые вечера, на которые приглашались сотрудники университета и близкие друзья фон Нейманов. А Джон всегда умел поддержать компанию, его чувство юмора и незаурядный дар рассказчика различных историй и анекдотов вызывали всеобщую симпатию. Он мог быть и резким, если этого требовали обстоятельства, но никогда не страдал напыщенностью и чванством. Имея безупречную логику, ученый понимал и принимал много из того, что отвергало большинство окружающих: «Сетовать на эгоизм и вероломство людей так же глупо, как сетовать на то, что магнитное поле не может возрастать, если ротор электрического поля равен нулю: то и другое – законы природы». Джон был всегда готов прийти на помощь любому, кто обращался к нему за советом. Семейные вечера Нейманов вошли в Приетоне в поговорку и о них еще очень долго вспоминали после отъезда Джона и его жены.

В 1933 году был основан Институт высших исследований. Его первыми профессорами стали А. Эйнштейн, О. Веблен, Дж. Александер, М. Морс и разделивший с ними эту честь Джон фон Нейман. Это назначение стало справедливым признанием заслуг 30-летнего ученого, который получил место в математическом отделе института, где и проработал до конца жизни. Он совмещал научную деятельность с множеством других обязанностей, включая консультации различных комиссий и военных ведомств. Нейман легко вошел в контакт с другими специалистами, считавшими его «ученым среди ученых», своего рода «новым человеком» – именно так переводится с немецкого его фамилия. Побывал Нейман и в СССР, приняв участие в знаменитой Московской топологической конференции, где выступил с докладом о единственности меры Хаара.

В 1937 году брак фон Неймана распался, и двухлетняя дочь Марина осталась с матерью. Но знаменитый математик недолго оставался одиноким. Уже через год он вернулся из очередной поездки в Будапешт с новой женой Кларой Дан, которая во время Второй мировой войны стала программистом и разработала первые программы для ЭВМ, в проектирование и создание которых ее супруг внес существенный вклад. Фон Нейман не изобретал электронного компьютера. В Пенсильванском университете один уже был и назывался ENIAC. То, что придумал фон Нейман, называется теперь «software» – программная начинка, позволяющая компьютеру быть достаточно гибким и исполнительным.

Огромным был авторитет Неймана не только в научных, но и в военных кругах, и ему часто приходилось консультировать военные проекты. О талантливом ученом говорили, что он один стоит целой дивизии. Особенно значимыми были работы Неймана в области создания атомной бомбы. Заинтересовавшись проблемами турбулентности, он стал находкой для Манхеттенского проекта и участвовал в разработке численных методов решений уравнений газовой динамики. Его работа, написанная в соавторстве с Р. Рихтайером, посвященная ударным волнам в уравнениях гидродинамики, раскрыла разностные методы решения подобных уравнений. Став классической, она легла в основу целого направления исследований, продолжающихся до наших дней. Несмотря на исключительную занятость прикладными задачами, Нейман нашел время для подготовки со своим близким другом Оскаром Моргенштерном книги «Теория игр и экономического поведения», являющейся продолжением его ранней работы. По мнению крупнейших современных экономистов, книга стала фундаментом всех математических методов, используемых в экономике. Нынешний председатель Комиссии по атомной энергии США утверждает: «Если он анализировал проблему, необходимость в ее дальнейшем рассмотрении отпадала. Всем становилось ясно, что нужно делать». В 1946 году Джон фон Нейман и Клаус Функ получили патент на создание водородной бомбы. (Этот проект не рассекречен до сих пор.) Известно только, что для расчетов он использовал машину, которую окрестил «Маньяк». (MANIAC, аббревиатура от Mathematical Analyzer, Numerator, Integrator and Computer – математический анализатор, счетчик, интегратор и компьютер).

В послевоенные годы научная работа фон Неймана была в основном связана с вычислительными машинами. Именно ему удалось убедить руководство Института высших исследований начать строительство в Пристоне самой мощной ЭВМ. Первая из них – ЭНИАК – была построена еще в 1943–1946 годах. Ученый подсказал разработчикам пути ее усовершенствования с целью упрощения программирования. И уже при создании ЭДВАКа (электронный автоматический вычислитель с дискретными переменными) он разработал подробную логическую схему машины, структурными единицами которой были не физические элементы, а идеализированные вычислительные элементы. Их использование стало важным шагом вперед и позволило отделить создание принципиальной логической схемы от ее физического воплощения. Ученый предложил использовать в качестве элементов памяти не линии задержки, а электронно-лучевые трубки. При этом можно было обрабатывать все разряды машинного слова параллельно. В честь фон Неймана машина была названа ДЖОНИАК.