Изометрическое мышечное сокращение

Изометри'ческое мы'шечное сокраще'ние, сокращение мышцы, выражающееся в усилении её напряжения при неизменной длине (например, сокращение мышцы конечности, оба конца которой закреплены неподвижно). В организме к И. м. с. приближается напряжение, развиваемое мышцей при попытке поднять непосильный груз. Ср. Изотоническое мышечное сокращение .

Изометрия

Изоме'три'я (от изо... и ...метрия ) в биологии, сохранение пропорций органов и частей тела в период роста организма.

Изоморфизм (матем.)

Изоморфи'зм, одно из основных понятий современной математики, возникшее сначала в пределах алгебры в применении к таким алгебраическим образованиям, как группы , кольца , поля и т. п., но оказавшееся весьма существенным для общего понимания строения и области возможных применений каждого раздела математики.

  Понятие И. относится к системам объектов с заданными в них операциями или отношениями. В качестве простого примера двух изоморфных систем можно рассмотреть систему R всех действительных чисел с заданной на ней операцией сложения x = x ₁ + x ₁ и систему Р положительных действительных чисел с заданной на ней операцией умножения y = y ₁ y ₂ . Можно показать, что внутреннее «устройство» этих двух систем чисел совершенно одинаково. Для этого достаточно систему R отобразить в систему Р , поставив в соответствие числу х из R число у = a^x (а > 1) из Р. Тогда сумме x = x ₁ + x ₂ будет соответствовать произведение y = y ₁ y ₂ чисел

 соответствующих x ₁ и x ₂ . Обратное отображение Р на R имеет при этом вид x = log_a y. Из любого предложения, относящегося к сложению чисел системы R , можно извлечь соответствующее ему предложение, относящееся к умножению чисел системы Р . Например, если в R сумма

членов арифметической прогрессии выражается формулой

то в Р произведение

членов геометрической прогрессии выражается формулой

(умножению на n в системе R соответствует при переходе к системе Р возведение в n -ю степень, а делению на два — извлечение квадратного корня).

  Изучение свойств одной из изоморфных систем в значительной мере (а с абстрактно-математической точки зрения — полностью) сводится к изучению свойств другой. Любую систему объектов S', изоморфную системе S , можно рассматривать как «модель» системы S («моделировать систему S при помощи системы S' ») и сводить изучение самых разнообразных свойств системы S к изучению свойств «модели» S'.

  Общее определение И. систем объектов с заданными на них в конечном числе отношениями между постоянным для каждого отношения числом объектов таково. Пусть даны две системы объектов S и S', причём в первой определены отношения

а во второй — отношения

Системы S и S' с указанными в них отношениями называются изоморфными, если их можно поставить в такое взаимно однозначное соответствие

(где х — произвольный элемент S , а x' — произвольный элемент S' ), что из наличия F_k (x ₁ ,x ₂ ,... ) вытекает F'_k (х' ₁ ,х' ₂ ,... ), и наоборот. Само указанное соответствие называется при этом изоморфным отображением, или изоморфизмом. [В приведённом выше примере в системе R определено отношение F (x, x ₁ , x ₂ ), где x = x ₁ + x ₂ , в системе Р — отношение F' (y , y ₁ , y ₂ ), где у = у ₁ у ₂ ; взаимно однозначное соответствие устанавливается по формулам у = a^x , х = 1og_a y. ]

  Понятие И. возникло в теории групп, где впервые был понят тот факт, что изучение внутренней структуры двух изоморфных систем объектов представляет собой одну и ту же задачу.

  Аксиомы любой математической теории определяют систему объектов, изучаемую этой теорией, всегда только с точностью до И.: аксиоматически построенная математическая теория, применимая к какой-либо одной системе объектов, всегда полностью применима и к другой. Поэтому каждая аксиоматически изложенная математическая теория допускает не одну, а много «интерпретаций», или «моделей» (см., например, в ст. Геометрия , раздел Истолкование геометрии).

  Понятие И. включает в себя как частный случай понятие гомеоморфизма , играющее основную роль в топологии .

  Частным случаем И. является автоморфизм — взаимно однозначное отображение

системы объектов с заданными отношениями F_k (x ₁ , x ₂ , ...) на самоё себя, при котором из F_k (x ₁ , x ₂ , ...) вытекает F'_k (x' ₁ , x' ₂ , ...), и наоборот. Это понятие тоже возникло в теории групп, но потом оказалось существенным в самых различных разделах математики.

  Лит.: Курош А. Г., Курс высшей алгебры, 3 изд., М. — Л., 1952; Энциклопедия элементарной математики, под ред. П. С. Александрова [и др.], кн. 2, М. — Л., 1951.