Дифференциальные пошлины

Дифференциа'льные по'шлины, см. Пошлины дифференциальные.

Дифференциальные признаки

Дифференциа'льные при'знаки, определённые свойства языковых единиц, противопоставляющие эти единицы другим единицам того же уровня, которые либо не обладают данными свойствами, либо обладают противопоставленными им свойствами. Например, русский звук «ль» противопоставлен звуку «л» по палатализованности (наличие — отсутствие свойства), словоформа «стол» — словоформе «столы» по числу (единственное число и множественное число), значение слова «человек» — значению слова «камень» по одушевлённости (одушевлённое — неодушевлённое). Понятие Д. п. более всего разработано в фонологии, где оно является основополагающим. Различаются релевантные и нерелевантные (иррелевантные) признаки. Данный Д. п. является релевантным для данной фонологической системы, если по этому Д. п. противопоставляются какие-либо фонемы данного языка (так, признак «звонкости — глухости» согласных релевантен для русского, немецкого, французского, английского и некоторых других языков). Однако и релевантный Д. п. может оказаться нерелевантным при некоторых условиях, например если он обусловлен позицией звука (глухость согласных на конце слов в русских языках нерелевантна) или особенностями фонологической системы.

  Американские учёные Р. Якобсон, Г. Фант, М. Халле предложили список из 12 универсальных двоичных акустических Д. п., достаточный, по их мнению, для исчерпывающего описания фонологической системы любого языка. Понятие Д. п. используется и на других уровнях языковой структуры и является одним из основных понятий современной лингвистики.

  Лит.: Трубецкой Н. С., Основы фонологии, пер. с нем., М., 1960; Блумфилд Л., Язык, пер. с англ., М., 1968; Jakobson R., Fant С. G. М., Halle М., Preliminaries to speech analysis, Camb., 1955 (рус. пер. 2 части — в кн.: Новое в лингвистике, в. 2, М., 1962); Jakobson R., Halle M., Fundamentals of language, 's-Gravenhage, 1956.

  В. В. Раскин.

Дифференциальные уравнения

Дифференциа'льные уравне'ния, уравнения, содержащие искомые функции, их производные различных порядков и независимые переменные. Теория Д. у. возникла в конце 17 в. под влиянием потребностей механики и других естественнонаучных дисциплин, по существу одновременно с интегральным исчислением и дифференциальным исчислением.

  Простейшие Д. у. встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «Д. у.» принадлежит Лейбницу. Ньютон при создании исчисления флюксий и флюент (см. Флюксий исчисление) ставил две задачи: по данному соотношению между флюентами определить соотношение между флюксиями; по данному уравнению, содержащему флюксии, найти соотношение между флюентами. С современной точки зрения, первая из этих задач (вычисление по функциям их производных) относится к дифференциальному исчислению, а вторая составляет содержание теории обыкновенных Д. у. Задачу нахождения неопределённого интеграла F (x) функции f (x) Ньютон рассматривал просто как частный случай его второй задачи. Такой подход был для Ньютона как создателя основ математического естествознания вполне оправданным: в очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме Д. у., а расчёт течения этих процессов сводится к решению Д. у.

  Следующие два простых примера могут служить иллюстрацией к сказанному.

  1) Если тело, нагретое до температуры Т, помещено в среду, температура которой равна нулю, то при известных условиях можно считать, что приращение DТ (отрицательное в случае T > 0) его температуры за малый промежуток времени Dt с достаточной точностью выражается формулой

  DT = -kTDt,

где k — постоянный коэффициент. При математической обработке этой физической задачи считают, что выполняется точно соответствующее предельное соотношение между дифференциалами

  dT = -kTdt,          (1)

т. е. имеет место Д. у.

  T' = -kT,

где T' (обозначает производную по t. Решить полученное Д. у., или, как выражаются иначе, проинтегрировать его, значит найти функции, обращающие его в тождество. Для уравнения (1) все такие функции (т. е. все его частные решения) имеют вид

  Т = Ce^-kt,          (2)

где С постоянно. Сама формула (2) с произвольной постоянной С называется общим решением уравнения (1).

  2) Пусть, например, груз р массы m подвешен к пружине и находится в положении равновесия (рис. 1, а). Отклоняя его от положения равновесия с помощью растяжения пружины (рис. 1, б), приводят груз в движение. Если x (t) обозначает величину отклонения тела от положения равновесия в момент времени t, то ускорение тела выражается 2-й производной x'' (t). Сила mх'' (t), действующая на тело, при небольших растяжениях пружины по законам теории упругости пропорциональна отклонению x (t). Т. о., получается Д. у.

  mх" (t) = – kx (t).          (3)

Его решение имеет вид:

 

и показывает, что тело будет совершать гармонические колебания (рис. 1, в).

  Теория Д. у. выделилась в самостоятельную детально разработанную научную дисциплину в 18 в. (труды Д. Бернулли, Ж. Д' Аламбера и особенно Л. Эйлера).

  Д. у. делятся на «обыкновенные», содержащие производные одной или нескольких функций одного независимого переменного, и «уравнения с частными производными», содержащие частные производные функций нескольких независимых переменных. Порядком Д. у. называется наибольший порядок входящих в него производных. Так, например,

 

есть Д. у. с частными производными 2-го порядка.

  Обыкновенные дифференциальные уравнения. Уравнения 1-го порядка. Обыкновенным Д. у. 1-го порядка с одной неизвестной функцией (только такие пока будут рассматриваться) называется соотношение

  F (x, у, у') = 0          (А)

между независимым переменным х, искомой функцией у и её производной

 

Если уравнение (А) может быть разрешено относительно производной, то получается уравнение вида

  y' = f (x, у).          (Б)

Многие вопросы теории Д. у. проще рассматривать для таких разрешённых относительно производной уравнений, предполагая функцию f (x, y) однозначной.

  Уравнение (Б) можно записать в виде соотношения между дифференциалами

  f (x, y) dx - dy = 0,

тогда оно становится частным случаем уравнений вида

  Р (х, у) dx + Q (x, у) dy = 0.          (В)

В уравнениях вида (В) естественно считать переменные х и у равноправными, т. е. не интересоваться тем, какое из них является независимым.

  Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Пусть у = у (х) есть решение уравнения (Б). Геометрически это значит, что в прямоугольных координатах касательная к кривой у = у (х) имеет в каждой лежащей на ней точке М (х, у) угловой коэффициент k = f (x, у). Т. о., нахождение решений у = у (х) геометрически сводится к такой задаче: в каждой точке некоторой области на плоскости задано «направление», требуется найти все кривые, которые в любой своей точке М имеют направление, заранее сопоставленное этой точке. Если функция f (x, у) непрерывна, то это направление меняется при перемещении точки М непрерывно, и можно наглядно изобразить поле направлений, проведя в достаточно большом числе достаточно густо расположенных по всей рассматриваемой области точек короткие чёрточки с заданным для этих точек направлением. На рис. 2 это выполнено для уравнения у' = у². Рисунок позволяет сразу представить себе, как должны выглядеть графики решения — так называемые интегральные кривые Д. у. Вычисление показывает, что общее решение данного уравнения есть