Большое значение имеет аналитическая теория Д. у., изучающая решения Д. у. с точки зрения теории аналитических функций, т. е. интересующаяся, например, расположением их особых точек в комплексной плоскости и т.п.

  Наряду с рассмотренной выше начальной задачей, в которой задаются значения искомых функций (а в случае уравнений старших порядков и их производных) в одной точке (при одном значении независимого переменного), находят широкое применение краевые задачи.

  Дифференциальные уравнения с частными производными. Типичной особенностью Д. у. с частными производными и систем Д. у. с частными производными является то, что для однозначного определения частного решения здесь требуется задание не значений того или иного конечного числа параметров, а некоторых функций. Например, общим решением уравнения

 

является выражение

  u (t, x) = f (x + t) + g (x - t),

где f и g — произвольные функции. Т. о., Д. у. (16) лишь в той мере ограничивает произвол в выборе функции двух переменных u (х, у), что её удаётся выразить через две функции f (z) и g (v) от одного переменного, которые остаются [если в дополнение к уравнению (16) не дано каких-либо «начальных» или «краевых» условий] произвольными.

  Типичной задачей с начальными условиями для системы Д. у. с частными производными 1-го порядка

 

где независимыми переменными являются t, x₁,..., x_n, а u₁,..., u_m суть функция от этих независимых переменных, может служить задача Коши: по заданным при каком-либо t = t значениям

  u_i (t, x₁,..., x_n) = j_i (x₁,..., x_n),

  i = 1, 2, ..., m,

найти функции u_i (t, x₁, ..., x_n).

  В теории Д. у. с частными производными порядка выше первого и систем Д. у. с частными производными рассматриваются как задачи типа Коши, так и ряд краевых задач.

  При постановке и решении краевых задач для Д. у. с частными производными порядка выше первого существенное значение имеет тип уравнения. В качестве примера можно привести классификацию Д. у. с частными производными 2-го порядка с одной неизвестной функцией z (х, у) от двух переменных:

  F (x, у, z, р, q, r, s, t) = 0,          (18)

где

 

Если

 

то (18) есть эллиптическое уравнение. Примером может служить уравнение Лапласа:

 

Если D < 0, то (18) есть гиперболическое уравнение. Примером может служить уравнение колебания струны:

 

Если D = 0, то (18) есть параболическое уравнение. Примером может служить уравнение распространения тепла:

 

О краевых задачах для этих различных типов уравнений см. Уравнения математической физики.

  Лит.: Обыкновенные Д. у. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, 5 изд., М., 1964; Понтрягин Л. С., Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2 изд., М., 1965; Камке Э., Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, пер. с нем., 3 изд., М., 1965; Филиппов А. Ф., Сборник задач по дифференциальным уравнениям, 2 изд., М., 1965.

  Д. у. с частными производными. Петровский И. Г., Лекции об уравнениях с частными производными, 3 изд., М., 1961; Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд., М., 1966; Смирнов М. М., Задачи по уравнениям математической физики, 5 изд., М., 1968.

  По материалам одноимённой статьи из 2-го издания БСЭ.

Рис. 8 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 1 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 3 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 6 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 2 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 4 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 7 к ст. Дифференциальные уравнения.

Рис. 5 к ст. Дифференциальные уравнения.

«Дифференциальные уравнения»

«Дифференциа'льные уравне'ния», ежемесячный научный математический журнал, основан в 1965, издаётся в Минске. Публикует результаты исследований в области дифференциальных, интегро-дифференциальных и интегральных уравнений, а также уравнений в конечных разностях. Переводится в США на английский язык и издается под названием «Differential equations».

Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом

Дифференциа'льные уравне'ния с отклоня'ющимся аргуме'нтом, уравнения, связывающие аргумент, а также искомую функцию и её производные, взятые, вообще говоря, при различных значениях этого аргумента (в отличие от обычных дифференциальных уравнений). Примерами могут служить уравнения

  x’'(t) = ax (t - t)          (1)

и

  x’'(t) = ax (kt),          (2)

где постоянные а, t, k заданы; t = t - (t - t) в уравнении (1) и t - kt в уравнении (2) — отклонения аргумента. Такие уравнения появились в конце 18 в. Неоднократно рассматривались сами по себе и в связи с решением геометрических задач, а позднее — в связи с различными приложениями, прежде всего к теории регулирования. Построение систематической теории Д. у. с о. а. было начато в 50-х гг. 20 в., а уже с 60-х гг. эта теория представляет собой значительный отдел математического анализа.

  Наиболее хорошо изучены линейные однородные автономные (т. е. с постоянными коэффициентами и постоянными отклонениями аргумента) Д. у. с о. а.; к таким уравнениям относится, например, (1). Здесь имеется достаточно полная система решений вида х = e^рt, причём для отыскания р получается трансцендентное характеристическое уравнение вида Р (р) = 0, где Р (р) — сумма членов вида Ap^m е^ap, m ³ 0 — целое [например, для (1) имеем Р (р) º р - ае^-tp]. Это уравнение имеет, вообще говоря, бесконечное число комплексных корней. Прочие решения рассматриваемого Д. у. с о. а. разлагаются в ряды по указанным простейшим решениям, и поэтому об основных свойствах совокупности решений, в частности об их устойчивости, можно судить по расположению нулей функции Р (р).