Содержание В. п. м. состоит в том, что они устанавливают свойства (признаки), позволяющие отличить истинное, то есть фактически происходящее под действием заданных сил движение механической системы, от тех или иных кинематически возможных её движений (или же состояние равновесия системы от других возможных ее состояний). Обычно эти свойства (признаки) состоят в том, что для истинного движения некоторая физическая величина, зависящая от характеристик системы, имеет наименьшее значение по сравнению с её значениями во всех рассматриваемых кинематически возможных движениях. При этом В. п. м. могут отличаться друг от друга видом указанной физической величины и особенностями рассматриваемых кинематически возможных движений, а также особенностями самих механических систем, для которых эти В. п. м. справедливы. Использование В. п. м. требует применения методов вариационного исчисления .

  По форме В. п. м. разделяют на так называемые дифференциальные, в которых устанавливается, чем истинное движение системы отличается от движений кинематически возможных в каждый данный момент времени, и интегральные, в которых это различие устанавливается для перемещений, совершаемых системой за какой-нибудь конечный промежуток времени.

  Дифференциальные В. п. м. в рамках механики являются более общими и практически справедливы для любых механических систем. Интегральные В. п. м. в их наиболее употребительном виде справедливы только для так называемых консервативных систем, то есть систем, в которых имеет место закон сохранения механической энергии. Однако в них, в отличие от дифференциальных В. п. м. и невариационных принципов, вместо сил входит такая физическая величина, как энергия, что позволяет распространить эти В. п. м. на немеханические явления, делая их важными для всей теоретической физики.

  К основным дифференциальным В. п. м. относятся: 1) возможных перемещений принцип , устанавливающий условие равновесия механической системы с идеальными связями; согласно этому принципу, положения равновесия механической системы отличаются от всех других возможных для неё положений тем, что только для положений равновесия сумма элементарных работ всех приложенных к системе активных сил на любом возможном перемещении системы равна нулю. 2) Д'Аламбера — Лагранжа принцип , согласно которому истинное движение механической системы с идеальными связями отличается от всех кинематически возможных движений тем, что только для истинного движения в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных к системе активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю. В этих В. п. м. рассматриваемой физической величиной является работа сил.

  К дифференциальным В. п. м. относится также Гаусса принцип (принцип наименьшего принуждения, в котором рассматриваемой физической величиной является, так называемое, «принуждение», выражаемое через заданные силы и ускорения точек системы, а также тесно к нему примыкающий Герца принцип (принцип наименьшей кривизны).

  К интегральным В. п. м. относятся, так называемые, принципы наименьшего (стационарного) действия, согласно которым истинным среди рассматриваемых кинематически возможных движений системы между двумя её положениями является то, для которого физическая величина, называемая действием , имеет минимальное значение. Разные формы этих В. п. м. отличаются друг от друга выбором величины действия и особенностями сравниваемых между собой кинематически возможных движений системы (см. Наименьшего действия принцип ).

  Как невариационные, так и В. п. м. были установлены в процессе изучения свойств механических систем и закономерностей их движения. Поскольку механические, как и др. физические явления, подчинены многим закономерностям, то для соответствующих механических систем оказался справедливым целый ряд принципов, в том числе и В. п. м., и если любой из них принять за исходный, то из него как следствия получаются не только уравнения движения данной системы, но и все другие, справедливые для этой системы, принципы.

  Применяются В. п. м. как для составления в наиболее простой форме уравнений движения механических систем, так и для изучения общих свойств этих движений. При соответствующем обобщении понятий они используются также в механике сплошных сред, термодинамике , электродинамике , квантовой механике , теории относительности и др.

  Лит.: Вариационные принципы механики. [Сб. ст.], под ред. Л. П. Полака, М., 1959; Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, 5 изд., ч. 2, М., 1969; Голдстейн Г., Классическая механика, пер. с англ., М., 1957.

  С. М. Тарг.

Рисунки к ст. Вариационные принципы механики.

Вариационный коэффициент

Вариацио'нный коэффицие'нт, отношение квадратичного отклонения к среднему значению. В вариационной статистике отличие каких-либо положительных чисел x₁ ,..., x₁ от их арифметического среднего x = (x₁ +... + x_n )/n принято характеризовать средним квадратичным отклонением

 

  Относительной характеристикой такого «разброса» служит В. к.

. В теории вероятностей и математической статистике В. к. положительной случайной величины Х определяется как отношение s/а, где а = Ех — математическое ожидание , s² = Ex = E (X — a)² —дисперсия . Если Х — результат измерения некоторой неизвестной положительной постоянной а = Ex , то В. к. представляет собой естественную характеристику относительной ошибки измерения.

Вариационный ряд

Вариацио'нный ряд, последовательность каких-либо чисел, расположенная в порядке возрастания их величин. Например, В. р. чисел 1, —3, 8, 2 имеет вид —3, 1, 2, 8. Промежуток между крайними членами В. р. называют интервалом варьирования, а длину этого интервала — размахом. В математической статистике понятие В. р. составляет основу теории решения так называемых непараметрических задач.