Л. Д.. Шевнин.

Фотографическая запись составляющих магнитного поля Земли (обсерватория Воейково, февраль 1969); солнечносуточная, короткопериодические иррегулярные и бухтообразная (17— 18 час ) магнитные вариации наложены на суточный ход составляющих H, D и Z. Стрелки указывают масштаб и направление отсчёта Н, D и Z.

Вариации силы тяжести

Вариа'ции си'лы тя'жести, изменение величины силы тяжести в данной точке Земли с течением времени. Различают периодические и вековые В. с. т. Периодические В. с. т. вызываются в основном тяготением Луны и Солнца, которое изменяет силу тяжести на Земле. В. с. т. возникают при этом вследствие вращения Земли, в результате которого изменяется взаимное расположение точки наблюдения и небесного тела. Приливные деформации Земли (см. Приливы и отливы ) приводят к перераспределению её масс и изменению расстояния точки наблюдения от центра Земли, что дополнительно увеличивает амплитуду периодических В. с. т. примерно в 1,2 раза. В итоге амплитуда лунных В. с. т. достигает 0,2 мгал, а солнечных — 0,1 мгал, 1 гал = 1 см/сек² . Основные периоды В. с. т. — полусуточный и суточный. Вследствие движения небесных тел полюсов Земли, долгопериодических изменений угловой скорости суточного вращения Земли и др. возникают долгопериодические В. с. т. небольшой амплитуды. Вековые В. с. т. вызываются геофизическими процессами внутри Земли (изменения плотности пород и перемещения масс в недрах Земли), замедлением её вращения и пр. Непосредственно вековые В. с. т. измерить пока не удалось. Сделаны лишь теоретические оценки, которые показывают, что их величина находится на грани точности измерений. Лунно-солнечные В. с. т. учитываются при полевых гравиметрических определениях, для чего составлены таблицы и номограммы. Непрерывные многомесячные наблюдения периодических В. с. т. используются для изучения внутреннего строения Земли и её упругих свойств. В. с. т. измеряются с помощью высокоточных стационарных гравиметров.

 

  Лит. см. при ст. Гравиметрия .

  М. У. Сагитов.

Вариационная кривая

Вариацио'нная крива'я, устаревшее название графика функции эмпирического распределения. См. Вариационная статистика .

Вариационная статистика

Вариацио'нная стати'стика, исчисление числовых и функциональных характеристик эмпирических распределений . Если в какой-либо группе объектов показатель изучаемого признака изменяется (варьирует) от объекта к объекту, то каждому значению такого показателя x₁ , ..., x_n (n — общее количество объектов) ставят в соответствие одну и ту же вероятность, равную ¹ . Такое формально введённое «распределение вероятностей», называемое эмпирическим, можно истолковать как распределение вероятностей некоторой искусственно введённой вспомогательной случайной величины , принимающей значение x_i с вероятностью p_i = (i = 1,..., n). Это позволяет использовать для целей В. с. все понятия и результаты общей теории дискретных распределений, частным случаем которых являются эмпирические распределения. Например, используемые в В. с. соотношения между моментами эмпирического распределения суть частные случаи аналогичных соотношений для моментов случайных величин. Наиболее содержательное и математически строгое истолкование В. с. осуществлено лишь для тех случаев, когда результаты наблюдений x_i ,..., x_n представляют собой случайные величины. При достаточно большом количестве наблюдений п эмпирическое распределение, в силу закона больших чисел (см. Больших чисел закон ), является хорошей статистической оценкой для неизвестного теоретического распределения случайных величин х, и в этой ситуации В. с. становится полезным вспомогательным аппаратом математической статистики . Попытки обоснования В. с. вне рамок теории вероятностей и математической статистики не привели к серьёзным теоретическим результатам.

  Л. Н. Большев.

Вариационное исчисление

Вариацио'нное исчисление, математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов — переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. В. и. является естественным развитием той главы математического анализа, которая посвящена задаче отыскания экстремумов функций. Возникновение и развитие В. и. тесно связано с задачами механики, физики и т.д.

  Одной из первых задач В. и. была знаменитая задача о брахистохроне (И. Бернулли, 1696): определить форму кривой, лежащей в вертикальной плоскости, по которой тяжёлая материальная точка, двигаясь под действием только одной силы тяжести и не имеющая начальной скорости, перейдёт из верхнего положения А в нижнее положение В за минимум времени. Эта задача сводится к отысканию функции у (х ), доставляющей минимум функционалу

 

  где а и b — абсциссы точек А и В.

  Другой такой же «исторической» задачей является задача об отыскании пути, вдоль которого распространяется свет, идущий от источника света (точка А ) к некоторой точке В, в среде с переменной оптической плотностью (то есть в среде, где скорость распространения v есть функция координат). Для решения этой задачи может быть использован, так называемый, Ферма принцип , согласно которому из всех кривых, соединяющих точки А и В, луч света распространяется вдоль той, по которой свет приходит из A в B за кратчайшее время. В простейшем случае, когда свет распространяется в плоскости, задача сводится к отысканию кривой y (x ), доставляющей минимум функционалу

 

  Из разрозненных задач подобного рода постепенно в 18 в. начало формироваться В. и. Но и после оформления В. и. в самостоятельную дисциплину она продолжала оставаться связанной с различными проблемами механики и физики. На протяжении 2-й половины 18 в. и всего 19 в. делались интенсивные попытки построить здание механики, опираясь на некоторые общие вариационные принципы (см. Вариационные принципы механики ). Со 2-й половины 19 в. начинают разрабатываться различные вариационные принципы в механике сплошных сред, затем позднее в квантовой механике, электродинамике и т.д. Возникают вариационные принципы и в средах с диссипацией энергии. Исследования во всех подобных областях продолжают служить базой формирования новых задач В. и. и областью приложения её методов. Однако со временем появились и новые классы задач, далеко раздвинувших традиционные границы дисциплины и превративших В. и. в одну из наиболее обширных ветвей современной математики, включающей в себя, с одной стороны, самые абстрактные вопросы, относящиеся в равной степени к топологии и функциональному анализу, а с другой — разнообразные вычислительные методы решения технических или экономических задач.