Эта система оказалась наиболее совершенной из всех существовавших в древности. Получившие всеобщее распространение «арабские» цифры на самом деле заимствованы арабами у индийцев; арабы и другие мусульманские народы называли их «индийскими». «Те цифры, которыми пользуемся мы, — писал Бируни, — взяты из самых красивых имеющихся у индийцев цифр»[2178].

В рассматриваемый период индийские ученые умели производить все основные действия с простыми дробями (в частности, они первыми стали записывать их именно так, как это делается сейчас: числитель вверху, знаменатель внизу), вычислять простые и сложные проценты, возводить числа в квадрат и куб, извлекать квадратные и кубические корни, использовать в вычислениях тройное правило, решать квадратные уравнения; они заложили основы тригонометрии и пользовались при астрономических вычислениях таблицей синусов.

Среди математиков классического периода необходимо назвать имя Арьябхаты[2179]. О значимости его труда «Арьябхатии» свидетельствует тот факт, что это сочинение являлось объектом изучения на протяжении многих столетий: последние комментарии к нему были созданы в середине прошлого века. Сочинение Арьябхаты анализировали и цитировали почти все крупные индийские ученые древности и средневековья. Математическая часть трактата, очень разнообразная по структуре, содержит много плодотворных идей, подхваченных и развитых последующими учеными как в самой Индии, так и за ее пределами. Это первое специальное научное математическое сочинение индийцев: многие математические правила дошли до нас именно в изложении Арьябхаты. Уже отмечалось, что он сформулировал первые правила в десятичной позиционной системе счисления — правила извлечения квадратного и кубического корней. Примечательно, что прием извлечения корней, которым пользуются сегодня в математике, по существу, не отличается от излагаемого Арьябхатой. В трактате имеется несколько задач, сводящихся к решению линейного уравнения с одним неизвестным. Среди них знаменитая «задача о курьерах», вошедшая в дальнейшем в мировую алгебраическую литературу. В ней требуется определить время встречи двух небесных светил, расстояния между которыми и скорости движения которых известны; решение, предложенное индийским ученым, практически не отличается от современного метода. Ряд задач в труде Арьябхаты говорит о знании квадратных уравнений, например задачи на нахождение числа членов арифметической прогрессии и на сложные проценты. Показательно, что задача на сложные проценты, как и «задача о курьерах», приводилась многими учеными не только в средние века, но и в новое время. С аналогичной задачи на сложные проценты начинал раздел о квадратных уравнениях в своем учебнике по алгебре известный французский математик и механик А.Клеро (1746).

Арьябхата внес огромный вклад в развитие теории чисел, и в частности в решение неопределенных уравнений. Первый толчок к постановке этой проблемы в Индии дали календарно-астрономические задачи, в которых нужно было определять периоды повторения одинаковых относительных положений небесных тел — Солнца, Луны, планет с различными периодами обращения. Задача сводилась к отысканию целых чисел, дающих при делении на данные числа данные остатки, т. е. удовлетворяющих неопределенным линейным уравнениям и их системам.

Неопределенными уравнениями занимался греческий математик Диофант (III в. н. э.), который искал лишь рациональные решения. Начиная с Арьябхаты индийцы давали решение этих уравнений в целых положительных числах. Вряд ли здесь можно говорить о прямом греческом воздействии на науку Индии — ученые двух культур пришли к теоретико-числовым проблемам, исходя из разных проблем, да и сами методы были различными.

Арьябхата первым в мировой математической литературе изложил приемы решения в целых положительных числах неопределенного уравнения первой степени вида ax + b = cy. Более подробно решение этим методом изложено в трудах другого крупнейшего индийского математика и астронома — Брахмагупты (VII в. н. э.).

Важное место в индийской математике занимали задачи на простое и сложное тройное правило. Хотя его знали уже египтяне и греки, индийские математики впервые выделили его в специальный арифметический прием и разработали схемы к задачам, содержащим несколько связанных пропорциями величин. Брахмагупта и позднейшие ученые добавили обратное тройное правило и правила 5, 7, 9 и 11 величин. Из Индии эти правила распространились в страны Ближнего Востока и оттуда в Западную Европу.

В алгебре крупнейшим достижением индийских математиков явилось создание развитой символики, гораздо более богатой, чем у греческих ученых. В Индии впервые появились особые знаки для нескольких неизвестных, свободного члена уравнения, степеней. Символами служили первый слог или буква соответствующего санскритского слова.

Начиная с Брахмагупты индийские математики стали широко оперировать отрицательными величинами, трактуя положительные числа как некое имущество, а отрицательные числа — как долг. Брахмагупта описывал все правила действий с отрицательными числами, хотя ему и не была известна двузначность при извлечении квадратного корня. Позднее индийские математики достигли огромных успехов в решении общего неопределенного уравнения второй степени с двумя неизвестными, решение которого давалось в целых положительных числах, а также в разработке отдельных задач дифференциального и интегрального исчисления. Значение π Арьябхата принимал равным 3,1416, что свидетельствует о большой точности вычислительных методов. Достижения индийских математиков были восприняты учеными арабского мира, получили широкую известность на средневековом Востоке, оказали влияние и на европейскую математику[2180].

Наиболее значительным достижением индийской астрономии рассматриваемой эпохи явился труд Арьябхаты «Арьябхатия»[2181]. Среди высказанных им астрономических идей исключительную важность имеет идея движения Земли вокруг своей оси при неподвижности звездного неба. Эта новаторская позиция резко расходилась с ортодоксальными установлениями и нормами, и не случайно теория Арьябхаты о вращении Земли была резко осуждена жречеством и ортодоксальными учеными[2182].

Высоко оценивая это открытие индийского ученого, надо, однако, иметь в виду, что Арьябхата рассматривал движение Земли возможным лишь теоретически; в своих же практических расчетах он исходил из неподвижности Земли. Его рассуждения можно рассматривать как соображения об относительном характере движения.

Арьябхата разработал также теорию солнечных и лунных затмений, указывая, что при солнечном затмении Земля попадает в тень, отбрасываемую Луной, а при лунных затмениях Луна попадает в тень Земли. «Когда в конце истинного лунного месяца (т. е. в новолуние. — Авт.) Луна, находясь вблизи одной из точек пересечения орбит (Луны и Солнца), заслоняет Солнце или когда в конце половины месяца (т. е. в полнолуние. — Авт.) Луна входит в тень Земли, это есть середина затмения; они происходят иногда до, а иногда после конца истинного лунного месяца или половины месяца» (Арьябхатия IV.38). Эта теория сразу же вызвала резкие нападки на ученого со стороны жречества и даже многих крупных ученых, ибо Арьябхата посягнул на одно из космогонических учений брахманизма и индуизма. Так, Брахмагупта гневно писал о том, что мнение Арьябхаты чуждо ведам, смрити и самхитам[2183]. В целом труд Арьябхаты содержит многие рационалистические идеи, что позволяет соотнести некоторые взгляды ученого с позицией локаятиков — древнеиндийских материалистов.

Сведения по истории астрономии рассматриваемого периода мы черпаем также из пяти сиддхант («научных трактатов»), которые на протяжении многих последующих веков изучались, комментировались, перерабатывались. Эти сиддханты подробно описаны и разобраны в трактате Варахамихиры «Панча-сиддхантика»[2184]. Время их составления датируется III–IV вв. н. э. Варахамихира разбирает следующие пять сиддхант: «Пайтамаха-сиддханта», «Васиштха-сиддханта», «Паулиша-сиддханта», «Ромака-сиддханта», «Сурья-сиддханта». Бируни ссылается на слова Брахмагупты: «Сиддханты многочисленны; в их числе: „Сурья“, „Инду“, „Паулиша“, „Ромака“, „Васиштха“ и „Явана“, т. е. „греческая“; несмотря на многочисленность, сиддханты отличаются только словами, но не по смыслу. И тот, кто разберется в них как следует, поймет, что они совпадают друг с другом»[2185].