— Ты говоришь верно. Итак, если мы построим эту касательную, а через полюс системы координат — перпендикуляр к радиусу-вектору, а другой перпендикуляр к касательной через точку касания (а этот перпендикуляр, как ты знаешь, называется «нормалью») и заметим точки m и N, в которых пересекаются с первым перпендикуляром касательная и нормаль, то отрезок ОТ будет полярной подкасательной, а отрезок ON — полярной поднормалью. Многие кривые могут быть полностью охарактеризованы отношениями их важнейших характеристик, то есть: касательной, нормали,

— 357 —

подкасательной и поднормали. Закон изменения этих характеристик заключает в себе нечто постоянное, что и является смыслом и существом рассматриваемой кривой. Так, для параболы этот закон особенно прост: если изобразить параболу в обычных декартовых координатах, но положить ее «набок», так, чтобы ось абсцисс была ее осью (см. чертеж на стр. 245^{12} в Схолии Тринадцатой), то в таком случае поднормаль параболы (длина поднормали) есть величина постоянная. Когда надо найти поднормаль у параболы, мы проводим к ней касательную в данной точке и строим нормаль в той же точке (перпендикуляр к касательной); затем из нашей точки опускаем перпендикуляр на ось параболы (а поскольку парабола у нас лежит «на боку», то ее ось совпадает с осью абсцисс; что же до вершины параболы, то мы — можем ее поместить в самое начало координат). Теперь отрезок оси абсцисс, лежащий между концом этого перпендикуляра и пересечением нормали с осью абсцисс — и есть искомая поднормаль. Для параболы поднормаль есть величина постоянная (ты на досуге сделай чертежик и посмотри!). Подкасательная есть тоже отрезок на оси абсцисс от того же конца перпендикуляра до пересечения касательной с осью абсцисс. Отсюда ясно, как много значат при изучении кривых касательная и все с ней связанное, ибо через нее мы получаем для кривых очень важные, точно определяющие их характеристики. Архимед, анализируя свою спираль, нашел и доказал, что и для этой кривой полярная поднормаль постоянна. Вот это было одно из замечательных открытий Архимеда. Ясно?

— Что-то я плохо понимаю, как это «постоянная»? Всегда одна и та же?

— Именно так: она всегда одна и та же и равна постоянной величине, входящей в полярное уравнение кривой. Зная уравнение кривой, мы уже знаем, чему равна длина поднормали. Слушай дальше и ты поймешь, в чем тут дело. Это особое свойство данной связи между радиусом-вектором r и полярным углом φ: если мы будем искать методами высшего анализа кривую, у которой поднормаль в полярных координатах постоянна, мы неминуемо придем к Архимедовой спирали. Это ее важное свойство подобно свойствам, определяющим «геометрическое место».

— И так будет в любой точке спирали?

— Разумеется! В этом-то и вся сила, что в любой. Это основной закон Архимедовой спирали. Напишем уравнение спирали в полярных координатах так, как мы писали в Схолии Двенадцатой уравнение кривых в декартовых координатах. Мы уже знаем, что длина радиуса-вектора в данном случае прямо пропорциональна углу, на который повернулся этот

— 358 —

вектор. Разумеется, когда вектор пройдет целый круг, то следующий круг мы начнем считать от 360°, это будет 361° (или в радианах 2π, а затем 2π + π/180 и так далее). Назовем радиус-вектор буквой r, а угол буквой φ и напишем уравнение:

r = αφ.

Это и будет самое простое уравнение спирали в полярных координатах. Чем больше угол, тем длиннее и радиус-вектор.

Пропорциональность может быть различной, поэтому в уравнении имеется коэффициент (или параметр) α.

— А что такое параметр?

— Параметр представляет собой определяющий коэффициент, характеризующий кривую. Так, например, угловой коэффициент прямой есть ее важнейший параметр.

В данном случае для нашей спирали α и есть постоянная поднормаль (или субнормаль) Архимедовой спирали. Чем он больше, тем шире и разворот спирали. Чем он меньше, тем ближе один к другому ложатся витки спирали. Он либо раздвигает, либо сдвигает спираль. Например, когда ты заводишь часы с пружиной, то она сжимается. Полагая, что пружина в плане близка к Архимедовой спирали, ты, заводя часы, уменьшаешь ее параметр а.

— Как будто что-то я начинаю соображать, — сказал Илюша. — Это немного похоже на то, если изменять угол конуса при вершине. Конус, конечно, станет другой.

— В этом роде. А теперь мы уже подходим к концу нашего рассказа. После того как Архимед установил это замечательное свойство спирали, он нашел еще и выражение ее полярной подкасательной (субтангенса). Если уравнение спирали таково, как мы написали, то в современных обозначениях полярная подкасательная спирали будет равна rφ. Теперь если у нас некоторый угол φ₁ будет равен 2π…

— То есть если радиус-вектор обойдет целый круг?

— Именно! Тогда соответствующий этому углу радиус-вектор по нашему уравнению будет равен: r₁ = 2πα, а его подкасательная по ее уравнению, которое мы только что записали, будет:

4π²а = 2πr₁ ,

то есть равна длине окружности, радиусом которой является радиус-вектор в конце первого витка спирали. Вот и получается при помощи геометрического построения совершенно точное определение длины окружности. Об этом и говорил византиец Евтокий Аскалонский. Средневековые математики не разобра-

— 359 —

лись в том удивительном построении, которое мы сейчас вкратце рассмотрели. То, что писал тонкий комментатор Архимеда — Евтокий об этом решении, вовсе их сбило с толку: начали даже поговаривать, что «по-видимому» сама геометрия — наука «неточная»! Их путало еще и то, что им уже было известно о существовании целого ряда приближений для определения числа π: в библии дается число 3,0; у Витрувия, римского архитектора, — 3,125 (вавилонское приближение); у самого Архимеда — 3,14… Которое из решений правильно? А спирали Архимеда вовсе не давали численного решения, что еще больше их смущало.

— Как интересно! — воскликнул Илюша. — Это напоминает случай с диагональю квадрата: построить — одна минута, а вычислить невозможно. Только со спиралью гораздо сложнее…

— Это верно. Но надо еще принять во внимание, что это не простое геометрическое построение, а такое, в которое входит «механическая кривая», для которой движение есть очень важный элемент. Многие древнегреческие математики были из-за этого не совсем довольны построением Архимеда, хотя это самый настоящий шедевр математической изобретательности и остроумия. Однако разобрать весь ход рассуждений Архимеда, понять все его доказательства — дело не такое простое, как мой коротенький рассказ. Уникурсал Уникурсалыч тебе объяснил, как ты должен поступить. Ты понял?

— Почти… Я буду стараться…[26]

— Стоит постараться, уверяю тебя. Это замечательное сочинение Архимеда оказало огромную помощь европейским ученым, когда они начали строить высший математический анализ.

— А почему ты вспоминал про веретена и про центры тяжести?

— Центры тяжести различных тел тоже вычисляются путем интегрирования. Что же касается веретена, то это веретено Торичелли…

— Это тот самый, чья «торичеллиева пустота»?

— Тот самый. И его веретено — тело вращения, которое получается вращением кривой обратных величин вокруг оси игреков. Это было очень интересным и неожиданным открытием. Оно было сделано в одно и то же время Торичелли и замечательным математиком Бонавентурои Кавальери, чье имя тебе тоже должно быть известно. Дело в том, что вершина этого