Все остальные слагаемые составляются по тому же принципу (затем, очевидно, пойдет гномон с клеткой пересечения «d5», затем «е4» итак далее). Теперь приступим к самому счету. Начну с того, что напишу в каждой клетке по единице. Если их считать «по прямым», то в каждой полосе будет n. А полос во всей доске тоже n. Ясно, что на всей доске получится n2. Но теперь попробуем считать «по гномонам». Получим:
1; 2 + 1; 3 + 2; …; n + (n-1).
Сумма всех этих чисел будет, очевидно,
1 + 3 + 5 + … + 2n — 1.
Приравнивая сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:
1 + 3 + 5 + … + 2n — 1 = n2,
то есть сумма и нечетных чисел равна n2. Как будто недавно мы с тобой уже встречались с этим вавилонским равенством?
— Встречались, — отвечал Илюша.
— Прелестно! — обрадовался Радикс. -Хорошо, что ты не забыл об этом. А теперь далее. Я напишу в каждой горизонтальной полосе числа от единицы до n, то есть
1, 2, 3, 4, 5, … , n,
и ясно, что сумма их будет равна в каждой полосе
(n + 1)n / 2,
— 349 —
по правилу суммы арифметической прогрессии. Раз это так, то ясно, что сумма всех полос доски будет равна
(n + 1)n2 / 2
Теперь рассмотрим, каковы будут суммы «по гномонам». Ясно, что сумма чисел энного гномона будет
n2+ (1 + 2 + 3 + … + n-1).
Эту сумму можно записать еще иначе, то есть:
n2+ n(n + 1) / 2
и окончательно:
⅔n2 — (1/2)n
Теперь я буду давать в этой формуле числу и значения 1, 2, 3… и до n включительно. Суммы тогда будут равны по окончательному написанию:
3/2 · 12 — 1/2 · 1
3/2 · 22 — 1/2 · 2
3/2 · 32 — 1/2 · 3
………
………
3/2 · n2 — 1/2 · n
Сложив все это столбиком, получаю для всех полос:
3/2 · S2 — 1/2 · S
где S2 есть сумма квадратов первых и натуральных чисел, а S — сумма их первых степеней. Приравнивая, как и ранее, сумму «по прямым» сумме «по гномонам», получаю:
3/2 · S2 — 1/2 · S = n2(n + 1) / 2
— 350 —
а отсюда определяю, чему равняется S2 и после ряда несложных переделок, которые, конечно, ты и сам не откажешься выполнить, получаю сумму квадратов первых и натуральных чисел, которая будет:
S2 = (2n + 1)(n + 1)n / 6.
![Волшебный двурог wd_260.png](https://litlife.club/books/282385/read/images/wd_260.png)
Советую тебе еще написать в клетках шашечницы пифагорову таблицу умножения и по ней найти, чему равна сумма кубов первых n чисел. Если же ты напишешь в клетках квадраты чисел пифагоровой таблицы, то сможешь найти и сумму пятых степеней. Однако нам пока это все, кроме суммы квадратов, не понадобится. Приступим теперь к вопросу об интегрировании. Допустим, что нам дана парабола, уравнение которой будет:
y = х2,
и нам нужно эту функцию проинтегрировать, или найти площадь, ограниченную параболой от начала координат до точки с абсциссой b, то есть площадь, ограниченную отрезком самой параболы, отрезком оси абсцисс и ординатой в точке х = b.
Для этого мы сначала делим интервал (то есть отрезок абсциссы) от нуля до b на n равных частей. Длина каждой такой части будет
h = b / n
Вся площадь теперь разбита на трапецоиды, ширина каждого из которых равна, как уже указано, b/n, а вышину мы определяем, согласно уравнению кривой, для последовательных точек параболы, как
h2, 22h2, 32h2, … , n2h2,
ибо ясно, что если х равен h, то у будет равен h2 и так далее.
Но если это так, то площади последовательных прямоугольников, которыми мы заменяем наши трапецоиды, будут равны
hh2, h22h2, h32h2, … hn2h2.
— 351 —
Видно, что сумма прямоугольников больше, нежели сумма трапецоидов, но при безграничном увеличении числа n искомая площадь будет пределом суммы прямоугольничков, то есть пределом следующего выражения:
h(h2 + 22h2 + 32h2 + … + n2h2) = h3(12 + 12 + 22 + 32 + … + n2) = b3/n3(12 + 12 + 22 + 32 + … + n2)
А так как шахматная доска уже объяснила нам, что сумма первых и квадратов натурального ряда равна
(2n + 1)(n +1)n / 6
то мы, подставляя это выражение в предыдущую формулу, после некоторых несложных переделок получим:
b3/6 (1 + 1/n)(2 + 1/n)
Спрашивается: что будет с этим выражением, если число n будет неограниченно возрастать? Ясно, что дробь 1/n будет неограниченно приближаться к нулю и ею мы можем пренебречь. В таком случае предыдущее выражение в пределе обратится в
b3/3
что и является результатом нашего интегрирования. Знай, что это один из первых интегралов, полученных человеком, что человека этого звали Архимед и что он рассуждал примерно так, как и мы.
И тут Величайший Змий вырос снова перед ними. Он взглянул на Илюшу, и мальчику показалось, что это могущественное чудовище даже улыбнулось!
![Волшебный двурог wd_261.png](https://litlife.club/books/282385/read/images/wd_261.png)
— 352 —
Схолия Семнадцатая,
в которой Илюша припоминает разные разности из предыдущих схолий, оставшиеся не совсем ясными, а Радикс рассказывает ему об истории надгробного камня Архимеда, погибшего от меча римского грабителя, о спирали Архимеда. Затем следует масса любопытнейших подробностей о веретенах, о шотландском сыре, о фокусах, которые придумали древнегреческие геометры, о том, как в старину индусы решали кубические уравнения, как в шестнадцатом веке бедный мальчик-заика учился на кладбище грамоте, а также почему у квадрата такая большая площадь и что по этому поводу думает касательная; о битве за высоту над городом Клермоном. А затем Илюша присутствует при волшебном опыте, который поясняет, что такое прямая линия и какие чудеса с ней случаются при ее путешествиях в мировом пространстве. Вслед за этим Илюша и Радикс видят нечто чрезвычайно странное… Но пока это еще страшный секрет, который, может быть, раскроется в будущем…
![Волшебный двурог wd_262.png](https://litlife.club/books/282385/read/images/wd_262.png)
— Ну, теперь ты доволен? — спросил Радикс.
— Да, — сказал Илюша, — я узнал массу интересных вещей. Теперь я, кажется, понимаю, почему так уважают Архимеда и как велико могущество Змия. Но только у меня есть еще вопросы.