Из простых высказываний можно строить какие угодно сложные, подобно тому как из нуля и единицы можно строить какое угодно большое число. Сумма двух высказываний, истинных или ложных, также должна иметь одно из двух значений — быть либо истинным, либо ложным. Иными словами, иметь значение либо 0, либо 1.
Впрочем, только в этом случае есть небольшое отличие «логической арифметики» от «арифметики двоичной»: 1 + 1 = 1, а не 10. Это понятно, так как в логике нас интересует лишь вопрос о том, истинно или ложно то или иное высказывание.
Зато логическая «таблица умножения» полностью совпадает с «двоичной».
Значение работы Буля, его «алгебры высказываний» часто сравнивают со значением работ гениального русского ученого Н. И. Лобачевского, создателя неевклидовой геометрии. И, как Лобачевского, Буля ждала такая же участь: потребовалось много лет, прежде чем был понят великий революционный смысл трудов этих ученых.
Работы Буля считались бесполезной «математической забавой». Лишь немногие выдающиеся умы того времени понимали, что математические символы в логике так же важны, как буквенные обозначения в алгебре или символические знаки в химии.
Больше того, русский ученый П. С. Эренферст уже в 1910 году сумел предвидеть, какое огромное значение может иметь алгебра Буля для техники. Он указал и конкретный пример ее применения — составление схем проводов телефонной станции.
Но век электроники тогда еще не наступил. И лишь в конце 30-х годов начался настоящий триумф «алгебры Буля». В 1938 году американский математик Клод Шеннон, тогда еще студент Массачусетского технологического института, доказал, что алгебра Буля применима для релейных и переключательных схем — основы автоматики.
Значения истинности и ложности соответствуют состояниям «включено» и «выключено», «единице» и «нулю». Таким образом, появилась возможность поручить электричеству не только вычислять, но и «рассуждать». Вычислительные машины стали «разумными».
«НУЛЬ ПИШЕМ, ОДИН В УМЕ...»
Работой машины обязательно управляет человек... Это казалось таким естественным, таким очевидным, что никому и в голову не приходило другое решение. Человек-оператор управляет машиной, производящей вычисления. Он распоряжается, какие действия арифметики должна она выполнять, устанавливает порядок этих действий. Скажем, велит сначала сложить два миллиарда семьсот миллионов триста восемьдесят тысяч восемьсот двадцать пять с подобным же числом-гигантом; затем прикажет перемножить полученную сумму на самое себя, то есть возвести в квадрат, и т. д.
Сложить или перемножить число-гигант для машины — дело даже не одной секунды, а одной сотой, тысячной, сто тысячной доли секунды. Сто тысяч арифметических операций в секунду могут делать современные машины. И даже такая фантастическая скорость действия для них не предел.
А человек? За секунду нервный импульс проходит два, три, десять, самое лучшее — немногим больше ста метров в секунду. Ничтожная скорость по сравнению с электрическим током!
Нервную клетку нельзя использовать больше, чем сто раз в секунду. А за эту же секунду «нервная клетка» вычислительной машины — электронная лампа — может переключиться, «сработать» миллион и даже больше раз!
Несоответствие в скорости явное. И оно было ясно видно, когда «тихоход»-оператор управлял машиной. Выполнив со сказочной быстротой одну часть программы, машина ждала своего медлительного хозяина, когда он укажет, что делать дальше. То, что экономилось на быстроте машинной работы, тратилось человеком-оператором.
Как же быть? Выход был найден благодаря идее одного из крупнейших математиков мира Джона фон Неймана. И эта простая и гениальная идея состояла в том, чтобы передать управление машиной самой же машине!
Теперь машина должна стать самоуправляющейся, не зависящей от оператора. Она будет знать, что ей делать, в каком порядке производить арифметические действия.
И не только порядок действия должна знать машина. Прежде она имела дело лишь с заданными числами, с условием задачи. Теперь же она должна иметь дело и с самими правилами решения этой задачи, с самой программой.
Программа, порядок действий хранился раньше в памяти человека. По мысли фон Неймана, программу нужно поместить в «память» машины. И вычислительная машина с молниеносной быстротой должна сама справляться в своей «памяти», что и как ей делать, чтобы выполнить задание до конца.
Но откуда у машин «память»? Если иметь в виду нашу, человеческую, живую память, то ее, конечно, у машины нет. Но сделать «механическую память» очень легко. Магнитофонные ленты, кинопленки, книги, записные книжки, «узелки на память», дневники, школьный журнал с отметками — все это виды «механической памяти», нужной человеку.
«Нуль пишем, один в уме»... Как часто приходится делать эта, решая задачи и примеры с вычислениями. Примерно так же поступает и вычислительная машина, «запоминая» предварительные результаты вычислений.
Но ведь программу действий машин можно записать в виде чисел, в виде набора единиц и нулей, И тогда мы получаем возможность предоставить машине «самостоятельность» в решении любой вычислительной или логической задачи. Конечно, «самостоятельность» эта условная.
Программу действий составляет человек, он заранее продумывает, что должна делать машина.
Программирование требует кропотливого и тщательного труда. Нужно продумать, как разложить на простые, элементарные действия сложнейшие математические задачи, как лучше использовать машинную «память» — какую часть «памяти» отвести для запоминания программы, какую для хранения предварительных результатов вычислений. Наконец, требуется необычайная аккуратность и тщательность в записи программы. Одна малейшая ошибка или описка — и программа не годна.
Приведем один любопытный пример. Кандидат физико-математических наук Р. X. Зарипов составил программу для электронной вычислительной машины, по которой машина должна была сочинять музыку. Разумеется, все исходные данные и все команды были записаны в виде чисел.
Вычислительная машина «Урал» начала свое «творчество». Она успешно «сочиняла» вальсы, но, как только дело доходило до маршей, получалась заминка. Марши «Урал» отказывался «сочинять»! Оказывается, в программе вместо числа 01 по ошибке было поставлено 011. И как только описка была исправлена, «Урал» начал «сочинять» марши столь же успешно, как и вальсы.
ПОИСКИ «САМОСТОЯТЕЛЬНОСТИ»
Нельзя ли сделать так, чтобы и при составлении программы использовать работу машины? Сделать так, чтобы не человек, а сама машина «обдумывала» свои действия? Или хотя бы проверяла составленную человеком программу — нет ли в ней ошибок?
Оказалось, что проверку программы машина делать может (ее называют «отладка программы»). На первом этапе пробуют, не «заблокируется» ли машина. Если мы неправильно написали какую-либо операцию, машина не сможет выполнить программу от начала до конца.
Затем проверяется порядок выполнения операций: не перепутано ли в программе сложение и деление, и т. п. Наконец, с большим вниманием проверяется полученный результат. Не потому, что если мы зададим машине сложить 3 и 2, то может получиться 1; машина производит арифметические действия с большой точностью. Но ведь может случиться, что программист по ошибке написал не 3 + 2, а 3 — 2. И тогда, разумеется, машина выдаст ответ: 3 — 2= 1.