Тогда без колебаний составляйте:

— либо рекурсивное решение. У меня есть процедура, которая решает задачу с n шашками. Какова бы ни была начальная конфигурация, для любого возможного хода вы этот ход осуществляете и решаете задачу с n − 1 шашками;

— либо итеративное решение. Оно отличается от предыдущего только необходимостью восстанавливать игру при возвращении назад. Это приводит вас к вопросу о представлении игры. Возможностей много…

Игра 31.

Поскольку рекурсивное решение тащится по всем книгам, я его вам здесь и предлагаю: это избавит вас от поисков…

Нужно перенести диски со стержня номер н (начального) на конечный стержень номер к. Номер запасного стержня x (хранилища) таков, что н, к, x есть перестановка чисел 0, 1, 2, поэтому н + к + x = 3. Номер запасного стержня равен 3 − н − к. Чтобы решить задачу, перенесем n − 1 первых дисков со стержня н на стержень x с помощью Н(n − 1, к, 3 − к − н).

Затем мы переносим последний диск n с н на к, что обозначается

Р(n, н, к).

Эта процедура, которая реализует, например, сообщение

n ИДЕТ С н НА к

Наконец, мы переносим n − 1 первых дисков с запасного стержня на стержень к:

Н(n −1, 3 − н − к, к).

Нужен частный случай, не являющийся рекурсивным. Если диск всего один, то можно сразу перенести его от н к к:

Проще некуда. Как же может случиться, что находятся и такие, кому эта процедура внушает опасения? В том ли дело, что они не видят, как на самом деле двигаются шашки? Или дело в том, что они испытывают сомнения в правильности процедуры? Продумайте это решение: если оно составляет для вас задачу, то только потому, что вы не владеете рекурсией, и жаль, что это так…

Число ходов игры легко выводится из этой процедуры. Обозначим через f(p) число ходов, необходимых для игры с p дисками. Из рекурсивной процедуры следует, что

f(1) = 1,

f(p) = 2 * f(p − 1) + 1.

(Почему?) Исходя из этого, вы можете вычислить f(p) (на самом деле g(p) = f(p) + 1 имеет более простой закон построения, чем f(p). Образуйте сначала этот закон, найдите решение, а затем выведите закон для f(p)).

Чтобы доказать свойство, касающееся четности дисков, действуйте по индукции подходу вычислений. Предположите, что это свойство выполняется для Н(р − 1, …). Покажите, что от сюда следует его справедливость и для Н(р, …).

У вас не получается? Вот дополнительная помощь. Начнем с переноса р − 1 дисков на запасной стержень. Пока не передвинут (р − 1)-й диск, нп один диск не кладется непосредственно на диск с номером р, и требуемое свойство выполняется. Рассмотрим момент, когда р − 2 дисков находятся на одном стержне, диски с номерами р − 1 и р — на другом стержне, а третий стержень пуст, Вы перемещаете диск с номером р − 1. Теперь, поскольку нужно переместить первые р − 2 дисков на диск с номером р − 1, то диски будут оказываться на диске с номером р. Если мы помещаем диск с номером q на диск с номером р, то для того, чтобы образовать пирамиду дисков с номерами от q до 1 и иметь возможность переместить диск с номером q + 1, который отправится на диск с номером р − 1. Но требуемое свойство выполняется для р − 1 дисков, и поэтому четность диска q + 1 не может совпадать с четностью р − 1. Следовательно, она совпадает с четностью р. Следовательно, р и q имеют разные четности.

Потренируйтесь в доказательствах такого рода…

Игра 32.

Предыдущее рекурсивное решение имеет ту особенность, что она не включает в ход игры никакого представления этой игры. Если вы хотите представить игру на экране даже символическим образом, вам придется создавать представление игры самому.

Но трудность состоит только в осуществлении видимого представления, потому что нужно учесть все, сказанное выше. Предположим, что нужно выполнить Р(р, н, к). Вы знаете, что нужно осуществить движение, которое вводит в игру диск размера р, покидающий стержень н, с которого он отправляется на стержень к. Это означает, что диск р находится на вершине стержня к, в противном случае его нельзя было бы оттуда взять. Поэтому вы можете не обращать никакого внимания на значение р.

Операция Р(р, н, к) на самом деле следующая: снять диск с вершины стержня н и поместить его на вершину стержня к.

Если представить игру в виде 3 строк с помощью последовательностей чисел, то, таким образом, достаточно снять крайнее правое число со строки н и присоединить его справа к строке к.

Если вы хотите представить стержни вертикально, создайте, кроме того, внутреннее представление с помощью трех цепочек символов и составьте процедуру вывода на экран. Это, как кажется, проще всего. Если вы не любите цепочек символов, используйте три таблицы, но вы не выиграете в легкости.

Игра 33.

Если ваш компьютер допускает рекурсию, заставьте работать рекурсивную процедуру и понаблюдайте за движением дисков. В противном случае выполните вручную рекурсивную процедуру для маленького n (например 4), что поможет вам наглядно увидеть то, что уже доказано: два диска одинаковой четности не могут оказаться друг на друге.

Вы должны заметить, что

— диск с номером 1 перемещается один раз за любые два хода,

— он перемещается циклически, причем всегда в одном направлении, а именно

либо 0 — 1 1 — 2 2 — 0…

либо 0 — 2 2 — 1 1 — 0…

Следующий ход, перемещающий диск с номером 1, полностью определен. Недостаточно проверить это, это нужно доказать. После этого итеративное решение тривиально. Можете ли вы априори определить перемещение диска с номером 1 в зависимости от четности числа дисков?

Можете ли вы сказать что-нибудь о движении остальных дисков?

Пронумеруйте ходы. Диск с номером 1 перемещается в ходах с нечетными номерами. Проверьте, а затем докажите, что диск с номером 2 перемещается в ходах с номерами 2, 6, 10, …, т. е. в ходах, номер которых кратен двум, но не кратен четырем. Обобщите. Исходя отсюда, вы можете сказать, зная номер хода, какой диск будет перемещаться, с какого стержня он уйдет и куда придет.

Красиво, не правда ли?

Игра 34.

Существование четвертого стержня не упрощает стратегию, даже наоборот. Одна из возможностей состоит в том, чтобы перемещать р верхних дисков, используя 4 стержня, затем оставшиеся диски — используя только 3 стержня (поскольку четвертый стержень блокирован башней самых маленьких дисков). Наконец, вы восстанавливаете р маленьких дисков над остальными, используя 4 стержня. Обозначим через

f4(р) — число ходов для перемещения р дисков, используя 4 стержня;