Известно, что именно рассуждение, приводящее к образованию дедуктивной системы положений, было использовано для того формалистического представления, будто мышление независимо от своего объекта [183] . «Формалистическая» трактовка мышления неразрывно связана с дуалистической трактовкой соотношения мышления и бытия. Формализм – следствие и логический эквивалент дуализма. Отрицание формализма не означает, конечно, отрицания того, что у мышления есть своя форма, отличная от его содержания – так же как признание этого очевидного факта не может служить основанием для формализма. Одна и та же форма может оказаться применимой к разному содержанию, поскольку оно имеет и нечто общее, выступающее в его форме. Это не значит, что форма независима от содержания, от объектов мысли: это значит только, что она есть результат далеко идущего обобщения и потому независима от частных особенностей объектов мысли.

Формальные системы в специфическом смысле слова возникают в результате обобщения отношений. Обобщения по отношению есть уже при элементарном (первосигнальным) обобщении – при генерализации. Генерализацией по отношению является, например, генерализация по прерывистости звука (пользуясь примером, к которому прибегал Павлов [184] ). Это в принципе такая же генерализация, как генерализация по громкости, тембру или любому другому качеству звука, но только, как отмечал Павлов, более сильная. Она открывает более широкие возможности для обобщения, чем генерализация по тому или иному свойству. В то время как генерализация по тому или иному свойству распространяется только на различные значения этого свойства, генерализация по отношению (например, по прерывистости звука) распространяется сразу на все значения разных свойств соответствующих объектов (звуков), стоящих в данных отношениях (прерывистости). Обобщение по свойству всегда совершается как бы в одном измерении, обобщение по отношению – многомерно: оно всегда совершается сразу в нескольких измерениях, распространяется на области, состоящие из значений разных свойств. В частности, генерализованное отношение по прерывистости звука переносится на звуки любой громкости, тембра и т. п.; оно, следовательно, шире генерализации по какому-либо свойству звука (например, его громкости); однако ничего «формального» в формалистическом смысле прерывистость звука, его ритма в себе не заключает. Это такое же явление, как сам звук или любое из его свойств.

Нечто аналогичное есть и в сфере понятийного (второсигнального) обобщения. И здесь – в силу вышеуказанных оснований – обобщение по отношению предметов мысли шире, чем обобщение по любому из их свойств; оно может заключать в себе обобщение по ряду параметров, охватывая разные значения всех их свойств. В качестве формального по преимуществу выступает именно знание, основанное на генерализации отношений. Формальная система, основанная на генерализации отношений между теми или иными объектами, абстрагируется от всех свойств объектов, не включает их в эксплицитной форме в свой состав. Однако в такой дедуктивной системе объекты – члены этих генерализованных отношений – не выпадают вовсе, они представлены в ней посредством неопределенных терминов в виде переменных. Пока на место этих переменных в качестве их значений не подставлены определенные объекты, ни одно из звеньев такой дедуктивной системы не представляет собой суждений, положений, о которых можно сказать, что они истинны или неистинны [185] . Это лишь так называемые «пропозициональные функции», которые становятся суждениями, истинными или ложными положениями, вообще приобретают «смысл», т. е. мыслительное содержание, только тогда, когда они относятся к определенным объектам. На место неопределенных терминов, фигурирующих в качестве членов генерализированных отношений дедуктивной системы, можно подставить разные объекты, но нельзя не подставить никаких. Формальная дедуктивная система – это, следовательно, еще вообще не знание, а только остов знания.

Форма всегда предполагает то или иное содержание. Для того чтобы уяснить себе различие между логикой, имеющей дело с содержательной формой мысли, и логикой формальной стоит сравнить, например, понятие импликации в аристотелевской логике, которая не была формальной логикой в том смысле, какой этот термин приобрел после Канта, с понятием импликации в современной символической логике. В аристотелевской силлогистике отношение импликации или следования (X —> Y) (если суждения P 1 и P 2 истинны, то истинно и суждение Р 3), т. е. соотношение истинности двух или нескольких суждений основывается на взаимосвязи их содержания. Иначе обстоит дело в современной символической логике. Так, например, Гильберт и Аккерман вводят соотношение X — > Y («если X, то Y »), но тут же они поясняют: «Соотношение „если X, то Y“ не следует понимать как выражение для отношения основания и следствия. Напротив, высказывание X — > Y истинно всегда уже в том случае, когда Х есть ложное или же Y – истинное высказывание. Так, например, следующие высказывания следует считать истинными.

Если „дважды два равно 4“, то „снег бел“.

Если „дважды два равно 5“, то „снег бел“.

Если „дважды два равно 5“, то „снег черен“.

Ложным же было бы высказывание: если „дважды два равно 4“, „то снег черен“ [ [186] . Отношение X — > Y означает здесь высказывание, которое ложно в том и только в том случае, когда Х истинно, а   Y ложно.» [187]

Сформулированное таким образом отношение импликации легко представить формалистически – как вовсе независимое от содержательного отношения суждений, которые в него входят. На самом деле импликация в современных аксиоматизированных системах логики представляет собой генерализацию отношений, заключенных в обычной аристотелевской импликации – как отношений основания и следствия. (Общим для отношения X —> Y в понимании, например, Гильберта и для отношения основания и следствия является то, что как в одном, так и в другом случае при истинности Х истинным должно быть и Y. ) В результате генерализации понятие импликации и абстрагируется от ряда первоначальных его свойств.

Такой аксиоматический анализ понятия импликации, как и других понятий логики, правомерен и важен. Неверен не он, а формалистическое толкование его результатов, согласно которому понятие импликации, корни которого – в содержательных отношениях суждений, связанных с отношениями основания и следствия, вовсе отрывается от всякого содержания.

В формальной дедуктивной системе из одного положения следует другое, и это следование остается всегда истинным независимо от «материальной» истинности исходных посылок. Рассуждение одной и той же формы (например, категорический или гипотетический силлогизм) применимо к разным объектам и не зависит от их частных особенностей. В этом смысле рассуждение всегда формально; его форма имеет обобщенный характер по отношению к содержанию. Правила дедуцирования сохраняют свою силу и при истинных и при неистинных посылках, но если заменить истинные и неистинные суждения, служащие посылками и заключением, «пропозициональными» функциями, не являющимися ни истинными и ни ложными, как это делает математическая логика, – то и дедуктивный алгоритм может представляться не истинным и не неистинным, а чисто условным, конвенциональным, будто бы совершенно произвольно устанавливаемым [188] . Между тем на самом деле он есть результат абстракции и генерализации содержательных отношений определенной области объектов, которая затем выступает как одна из интерпретаций извлеченной из нее формальной системы.

Всякая формальная дедуктивная система (например, геометрия, формализированная посредством аксиоматического метода Гильберта) извлекается путем абстракции из определенной системы «идеализированных» объектов, отношения которых она генерализирует. В отношении этой системы объектов к этой дедуктивной системе нет ничего «конвенционального». Она выражает отношения, которые необходимо существуют между данными объектами. Возможность других «интерпретаций» той же формализированной системы геометрических положений является результатом генерализации этих отношений. Под неопределенные термины этих отношений в дедуктивной системе можно, в силу широты генерализации по отношениям, подставить разные объекты, однако никак не вообще любые, безразлично какие, а только те, которые удовлетворяют исходным отношениям данной дедуктивной системы; для переноса той же дедуктивной системы на другие объекты (для другой их интерпретации) необходимо установить, что к новым объектам применимы те отношения, из которых исходит дедуктивная система. Ни в какой интерпретации дедуктивная система не конвенциональна, она всегда имеет реальную фактическую основу во взаимоотношении соответствующих объектов; при всей своей формальности, основывающейся на обобщении отношений между ними, дедуктивная система не независима от них. Это относится и к самим правилам дедуцирования. Они основываются на таких свойствах отношений, как рефлексивность (а = а), симметричность (а = b < b = а), транзитивность (а = b, b = с < а = с) и т. п. Дедуктивное построение знания о какой-либо совокупности объектов мысли возможно во всех тех и только тех случаях, когда отношения, существующие между ними, обладают свойствами такого рода. Значит, и правила дедуцирования, самый логический аппарат рассуждения в своей предельной обобщенности, максимально независимый от частных свойств объектов, к которым он применяется, не независим вовсе от этих последних. Вся аристотелевская логика, в центре которой стоят отношения импликации, «включения», построена путем генерализации отношений включения, существующих между индивидом и видом, видом и родом. Это логика классифицирующего естествознания. Она извлечена из соотношений организмов и применима к тем объектам, соотношения которых, будучи аналогичны отношениям включения индивида в вид и вида в род, обладают теми же формальными свойствами. Подобно этому, полная индукция, являющаяся, как мы видели, необходимым и доказательным рассуждением, идущим от частного к общему, применима только к тем и ко всем тем объектам мысли, совокупность которых – как совокупность множества чисел – образуется посредством многократного повторения одной и той же операции (в отношении чисел через прибавление к n единицы) или в которой каждый последующий член находится в таком же функциональном отношении к своему предшествующему, как этот последний к своему предшествующему. Каждый объект такой совокупности (класса объектов) может быть определен исходя из свойств первого ее члена, через функциональное отношение последующего к предыдущему. Полная индукция – это определение таких объектов, обращенное в правило умозаключения о них. Таким образом, и правила дедуктивного умозаключения находятся в зависимости от некоторых, хотя и предельно обобщенных свойств и отношений между объектами.