Вот другой пример совпадения, где ясно, как вычислить вероятность. Мы используем его, чтобы продолжить и увидеть, насколько чувствительна вероятность к изменению petwhac. У меня когда-то была подруга, у которой была та же дата рождения (хотя не в одном и том же году), как и у моей предыдущей подруги. Она рассказала об этом своему другу, который верил в астрологию, и друг торжествующе спросил, как я мог оправдать свой скептицизм ввиду такого поразительного факта, что я был невольно сведен подряд с двумя женщинами на основе их «звезд». Еще раз, давайте просто спокойно об этом подумаем. Легко подсчитать вероятность того, что у двух людей, выбранных абсолютно наугад, будет один и тот же день рождения. В году 365 дней. Когда бы ни был день рождения первого человека, шанс, что у второго день рождения будет в тот же самый день — 1 к 365 (пренебрегая високосными годами). Если мы разделим людей на пары каким-нибудь определенным способом, например, беря подряд подруг любого мужчины, вероятность, что у них будет один день рождения — 1 к 365. Если мы возьмем десять миллионов мужчин (меньше, чем население Токио или Мехико), это очевидно странное совпадение случится больше чем с 27 000 из них!

Теперь давайте подумаем о petwhac и увидим, как очевидное совпадение становится менее впечатляющим, когда сам petwhac расширяется. Есть много других способов, которыми мы могли разделить людей на пары и все же в конце концов отметить очевидное совпадение. Например, две подряд подруги с одной и той же фамилией, хотя и не родственницы. Два деловых партнера с одним и тем же днем рождения также вошли бы в petwhac; или два человека с одним и тем же днем рождения, сидящие рядом друг с другом в самолете. Однако в полностью заполненном Боинге-747 вероятность, что, по крайней мере, у одной пары соседей будет общий день рождения, даже больше, чем 50 процентов. Мы обычно не замечаем это, потому что не смотрим через плечо друг другу, когда заполняем те утомительные иммиграционные формы. Но если бы мы делали это, то хотя бы кто-нибудь на большинстве рейсов, мрачно бормотал бы о тайных силах.

Совпадение дней рождения превосходно выражено более впечатляющим способом. Если есть комната со всего лишь 23 людьми, математики могут доказать, что с вероятностью чуть больше 50 процентов у двух из них один день рождения. Два читателя более раннего варианта этой книги просили, чтобы я обосновал это удивительное утверждение. Легче вычислить вероятность, что нет пары с общим днем рождения, и вычесть ее из единицы. Забудьте о високосных годах, их учет дает больше мороки, чем толку. Предположим, я держу с вами пари, что из 25 людей в комнате, по меньшей мере у двух общий день рождения. Вы держите пари, в целях нашего аргумента, что не будет никаких общих дней рождения. Мы сделаем вычисления, поочередно пересчитывая до 23 человек, начав лишь с одного человека в комнате и добавляя людей по одному. Если в какой-нибудь момент будет найдена пара, я выигрываю пари, мы останавливаем игру и не утруждаемся тем, чтобы добавлять еще людей. Если мы дойдем до 23 человек, и к тому моменту все еще не будет ни одной пары, то пари выигрываете вы.

Когда в комнате находится только один человек, которого мы вполне можем назвать А, вероятность, что «пока еще нет ни одной пары» заведомо равна 1 (365 шансов из 365). Теперь добавим второго человека, В. Вероятность совпадения теперь 1 из 365. Поэтому вероятность, что «пока еще нет ни одной пары», когда B присоединился к А в комнате, составляет 364/365. Сейчас добавим третьего человека, C. Есть один шанс из 365, что C составит пару с А, и один шанс из 365, что C составит пару с B, поэтому вероятность, что он не совпадает ни с А, ни с B, составляет 363/365 (он не может совпадать с обоим, и потому что мы уже знаем, что А не соападает с B). Чтобы получить общую вероятность, что «пока еще нет ни одной совпадающей пары», нам придется взять эти 363/365 и умножить на вероятность отсутствия совпадающей пары в предыдущем раунде (-ах), в данном случае на 364/365. Подобная же логика применима, когда мы добавляем четвертого человека, D. Общая вероятность, что «пока еще нет ни одной совпадающей пары», теперь составляет 364/365 X 363/365 X 362/365. И так, пока все 23 человека не окажутся в комнате. Каждый новый человек добавляет новый множитель, который нам придется дополнить к имеющемуся итогу произведения, чтобы вычислить вероятность отсутствия совпадения пары на данный момент.

Если вы выполните умножение для 23 множителей (вам придется дойти до 343/365), ответ составит около 0.49. Это вероятность, что в комнате не будет ни одного общего дня рождения. Итак, вероятность, что по меньшей мере у одной пары людей в группе из 23 будет общий день рождения, чуть больше вероятности обратного. Интуиция большинства людей призывает их держать пари против такого совпадения. Но они бы ошиблись. Именно подобные интуитивные ошибки обычно искажают нашу оценку «сверхъестественных» совпадений.

Вот имевшее место совпадение, где мы можем попытаться оценить вероятность приблизительно, хотя здесь это немного труднее. Моя жена однажды купила для своей матери красивые старинные часы с розовым циферблатом. Когда она забрала их домой и снимала ценник, она была поражена, обнаружив выгравированные на обратной стороне часов личные инициалы матери, M.A.B. Необъяснимо? Жутко? Мурашки по коже? Артур Кёстлер, известный автор романов, истолковал бы примерно так. Как и К. Г. Юнг, уважаемый психолог и изобретатель «коллективного подсознания», который также полагал, что книжный шкаф или нож можно заставить психическими силами внезапно с громким треском взорваться. Моя жена, обладающая большим здравым смыслом, просто сочла, это совпадение инициалов достаточно забавным и замечательно подходящим, чтобы рассказать эту историю мне — и я теперь здесь рассказываю ее более широкой аудитории.

Итак, какова на самом деле вероятность совпадения такой величины? Мы можем начать ее вычисление наивно. В алфавите 26 букв. Если у матери три инициала, и вы находите часы, с выгравированными тремя случайными буквами, вероятность, что они совпадут — 1/26 × 1/26 × 1/26, или 1 к 17 576. В Великобритании приблизительно 55 миллионов человек. Если бы каждый из них купил гравированные антикварные часы, то мы ожидали бы, что больше 3 000 из них ахнут в изумлении, когда обнаружат, что на часах уже есть инициалы их матери.

Но в действительности вероятность больше. В нашем наивном вычислении было сделало неправильное предположение, что для каждой буквы вероятность быть чьим-то инициалом составляет 1/26. Это усредненная вероятность для алфавита в целом, но для некоторых букв, вроде X и Z, вероятность меньше. Другие, включая М, A и B, более распространены: представьте, насколько больше мы были бы поражены, если бы совпавшими инициалами были X.Q.Z. Мы можем уточнить нашу оценку вероятности, проанализировав телефонный справочник. Исследование выборки — приемлемый способ оценить что-то, что мы не можем подсчитать прямо. Лондонский справочник — хороший материал для статистики, потому что он большой, и Лондон к тому же является тем местом, где моя жена купила часы и где жела ее мать. Лондонский телефонный справочник содержит колонку с именами частных граждан длиной приблизительно 85 060 дюймов или приблизительно 1.54 миль. Из них приблизительно 8 110 дюймов колонки посвящены В. Это означает, что приблизительно 9.5 процентов лондонцев имеют фамилию, начинающуюся на B — намного чаще, чем в среднем для букв: 1/26, или 3.8 процента.

То есть вероятность, что случайно выбранный лондонец имел бы фамилию, начинающуюся с B — приблизительно 0.095 (~9.5 процентов). А что с аналогичными вероятностями, что имена начинаются с М или A? Слишком долго считать инициалы имен прямо в телефонной книге, и в этом нет никакого смысла, так как телефонная книга — сама по себе лишь выборка. Легче всего взять выборку из выборки, где инициалы имен удобно расположены в алфавитном порядке. Это верно для записей в пределах одной отдельно взятой фамилии. Я возьму самую распространенную фамилию в Англии — Смит — и посмотрю, какая доля Смитов являются М.Смитами, а какая — А.Смитами. Резонно надеяться, что это будет примерно представлять вероятности инициалов имен для лондонцев вообще. Оказывается, колонка Смитов в целом гораздо больше 20 ярдов. Из них 0.073 (53.6 дюйма колонки) — М. Смиты. A. Смиты занимают 75.4 дюймов колонки, представляя 0.102 всех Смитов.