Энтропия — это понятие, которое придаёт точность этой идее путём подсчёта количества способов, согласующихся с законами физики, которыми может быть реализована данная физическая ситуация. Высокая энтропия означает, что имеется много способов; низкая энтропия означает, что имеется мало способов. Если страницы книги расположены в правильном числовом порядке — это низкоэнтропийная конфигурация, поскольку имеется одно и только одно расположение, удовлетворяющее этому критерию. Если страницы находятся не в правильном порядке — это высокоэнтропийная ситуация, поскольку небольшой расчёт показывает, что имеется
1245521984537783433660029353704988291633611012463890451368876912646868955918529845043773940692947439507941893387518765276567140592866271513670747391295713823538000161081264653018234205620571473206172029382902912502131702278211913473582655881541071360143119322157534159733855428467298691398151599251190858672609934810561430341343830563771367151105704786941333912934192440961051428879847790853609508954014012593285063290603410951314946638983905267676104278041667301549455228188610250246338662603601508886647010142970854584815141598392546876231295293347829518681237077459652243214888735167928448340300078717063668462384353624245167362286109198539391815030760468904664912978940625033265186858373227136370247390401891094064988139838026545111487686489581649140342644411087191184416428090275713773809067258708430215795015899162320458130129508343865379081918237777385214375363122531641598589268105976528144801387748697026525462643937189392730592179674716916697815519856976926924946738364227822733457767180733162404336369527711836741042844934722347792234027225630721193853912472880929072034271692377936207650190457109788774453544358680331916095924987744319498699770033324946307324375535322906744817657953956218403295168144271042227608124289048716428664872403070364864934832509996672897344642531034930062662201460431205110109328239624925119689782833061921508282708143936599873268490479941668396577478902124562796195600187060805768778947870098610692265944872693410000872699876339900302559168582063973485103562967646116002251592001137227412733180748295472481928076532664070230832754286312646671501355905966429773337131834654748547607012423301287213532123732873272187482526403991104970017214756470049929226458643522650111999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999
— приблизительно 101878 — различных неупорядоченных расстановок страниц.{107} Если вы подбросили страницы в воздух, а затем собрали их в аккуратную стопку, практически всегда они будут сложены беспорядочно, поскольку такие конфигурации имеют более высокую энтропию — имеется намного больше способов получить неупорядоченный результат, чем исключительное расположение, в котором страницы находятся в правильном числовом порядке.
В принципе, мы могли бы воспользоваться законами классической физики, чтобы точно определить, где приземлится каждая страница после того, как целая пачка была подброшена в воздух. Тогда, снова в принципе, мы могли бы точно предсказать итоговое расположение страниц{108} и поэтому (в отличие от квантовой механики, которую мы игнорируем до следующей главы) могло бы показаться, что нет необходимости полагаться на вероятностные понятия, вроде того, какой результат является более или менее вероятным по сравнению с другими. Но статистические понятия являются как мощными, так и полезными. Если бы «Война и мир» была памфлетом из пары страниц, мы могли бы успешно завершить необходимые вычисления, но это будет невозможно сделать для настоящей книги «Война и мир».{109} Отслеживание точного движения 693 гибких листов бумаги, когда они подхватываются воздушными потоками, соприкасаются, скользят и толкают друг друга, будет монументальной задачей, далеко лежащей за пределами возможностей даже самых мощных суперкомпьютеров.
Более того — и это существенно — точный ответ не так уж важен. Когда вы исследуете окончательную стопку страниц, вы гораздо меньше интересуетесь подробностями, какая страница где оказалась, чем главным вопросом, расположились ли страницы в правильном порядке. Если расположились — прекрасно. Вы сможете, как обычно, сесть и продолжить чтение про Анну Павловну и Николая Ильича Ростовых. Но если вы обнаружили, что страницы в неправильном порядке, точные детали расположения страниц, вероятно, будут заботить вас меньше всего. Если вам попалось одно неупорядоченное расположение страниц, вы в значительной степени имеете представление обо всех. За исключением случаев, когда по некоторым странным причинам вы погрязли в мелочах, выясняя, каким страницам пришлось появиться в стопке здесь или там, вы едва ли заметите, что кто-то внёс ещё дополнительную путаницу в то неправильное расположение страниц, которое вы имели в начале. Начальная стопка будет выглядеть неупорядоченной, и ещё раз перемешанная стопка тоже будет выглядеть неупорядоченной. Так что обсуждение на статистическом уровне не только значительно легче провести, но и ответ, который оно даёт, — упорядоченное против неупорядоченного, — более важен по сути, более важен по отношению к тому, на что мы обычно обращаем внимание.
Такая разновидность укрупнённого мышления является центральной для статистических оснований энтропийных рассуждений. Точно так же, как любой лотерейный билет имеет те же шансы на выигрыш, что и любой другой, после многих подбрасываний страниц книги любое частное расположение страниц столь же вероятно, что и любое другое. Что делает статистические рассуждения уместными, так это то, что имеется два представляющих интерес класса конфигураций страниц: упорядоченные и неупорядоченные. Первый класс имеет одно представление (правильное расположение страниц 1, 2; 3, 4 и т. д.), тогда как второй класс имеет гигантское число представлений (любое другое возможное расположение страниц). Эти два класса составляют разумный набор для использования, поскольку, как сказано выше, они дают адекватную макроскопическую оценку, которую можно сделать, рассматривая любое данное расположение страниц.
Вы можете предложить сделать более тонкое разграничение между этими двумя классами, рассматривая расположения с несколькими выпадающими из правильного порядка страницами, с неупорядоченными страницами только из первой главы и т. д. Фактически, иногда может оказаться полезным рассмотрение таких промежуточных классов. Однако число возможных расположений страниц в каждом из этих новых подклассов всё ещё крайне мало по сравнению с числом расположений во всём неупорядоченном классе. Например, полное число неупорядоченных расположений, включающих только страницы из первой части романа «Война и мир», составляет 10–178 от одного процента от полного числа неупорядоченных расположений, включающих все страницы. Так, хотя при начальном подбрасывании непереплетённой книги итоговое расположение страниц будет, вероятнее всего, частью одного из промежуточных, не полностью разупорядоченных классов, но если вы повторите процедуру подбрасывания много раз, почти наверняка порядок страниц в конечном счёте не будет демонстрировать каких-либо очевидных закономерностей. Порядок страниц эволюционирует в направлении к полностью неупорядоченному классу, поскольку имеется очень много расположений страниц, которые удовлетворяют данному требованию.
Пример с романом «Война и мир» выявляет две существенные особенности энтропии. Первая особенность: энтропия есть мера количества беспорядка в физической системе. Высокая энтропия означает, что имеется много перестановок составляющих частей системы, которые пройдут незамеченными. С другой стороны, это означает, что система сильно неупорядочена (когда страницы романа все перемешаны, любое дальнейшее их перепутывание будет едва ли заметно, поскольку просто оставляет страницы в перемешанном состоянии). Низкая энтропия означает, что очень немного перестановок пройдут незамеченными. С другой стороны, это означает, что система высокоупорядочена (когда страницы романа находятся в правильном порядке, вы легко обнаружите любую перестановку). Вторая особенность состоит в том, что в физических системах с большим числом составных частей (например, в книгах со многими страницами, подбрасываемых в воздух) имеется естественная эволюция по направлению к большему беспорядку, поскольку беспорядок может возникнуть гораздо большим числом способов, чем порядок. На языке энтропии это утверждение означает, что физические системы имеют тенденцию развиваться по направлению к состояниям с более высокой энтропией.
{107}
Для склонного к математике читателя следует заметить, что поскольку числа могут стать столь велики, то энтропия на самом деле определяется как логарифм числа возможных перестановок — но эта деталь не имеет отношения к рассматриваемой проблеме. Однако, с принципиальной точки зрения, это важно, поскольку очень удобно, что энтропия является так называемой аддитивной величиной. Это означает, что если вы объедините две системы вместе, энтропия их совокупности есть сумма их индивидуальных энтропий. Это остаётся правильным только для энтропии в форме логарифма, так как число перестановок в этом случае задаётся произведением индивидуального числа перестановок подсистем, так что логарифм числа перестановок является аддитивной величиной.
{108}
Поскольку мы можем, в принципе, предсказать, где приземлится каждая страница, вы можете подумать, что имеется дополнительный элемент, который определяет расположение страниц: как вы будете собирать страницы вместе в аккуратную пачку. Это не имеет отношения к обсуждаемой физике, но в случае, если вас это беспокоит, представьте, что вы договорились подбирать страницы одну за одной, начиная с той, которая к вам ближе всего, затем подберёте ближайшую за этой страницу и т. д. (И, например, для определения ближайшей страницы вы можете договориться измерять расстояние до ближайшего угла страницы.)
{109}
Надежда преуспеть в расчёте движения даже нескольких страниц с точностью, требуемой для предсказания их порядка (с учётом применения некоторого алгоритма складывания в пачку, как в предыдущем примечании), на самом деле экстремально оптимистична. В зависимости от гибкости и веса бумаги такой сравнительно «простой» расчёт может оказаться за пределами сегодняшних вычислительных возможностей.