Более детальное разъяснение (хотя, всё ещё, общего характера) искривления пространства и времени согласно общей теории относительности можно найти, например, во второй главе моей предыдущей книги (Грин Б. Элегантная Вселенная. Суперструны, скрытые размерности и поиски окончательной теории).

Во избежание путаницы я ещё раз подчеркну, что утверждения типа «Вселенная не является локальной» или «Нечто, происходящее здесь, может быть переплетено с чем-то там» не подразумевают возможность мгновенно управлять чем-то удалённым. Как будет ясно из дальнейшего, эффект, на который я ссылаюсь, проявляется в качестве корреляции между событиями — обычно в форме корреляций между результатами измерений, — происходящими в отдалённых друг от друга местах (таких что даже свет не успел бы преодолеть расстояние между ними). Таким образом, я имею в виду то, что физики называют нелокальными корреляциями. На первый взгляд может показаться, что в таких корреляциях нет ничего удивительного. Если кто-то посылает вам посылку с одной перчаткой, а другую перчатку из той же пары посылает вашему другу за тысячи миль от вас, то будет корреляция между тем, что каждый из вас увидит, открыв свою посылку: если вы увидите перчатку на левую руку, то ваш друг увидит перчатку на правую руку, и наоборот. И, понятно, в этих корреляциях нет ничего загадочного. Но, как увидим мы в дальнейшем, корреляции квантового мира носят совсем другой характер. Это как если бы вы имели пару «квантовых перчаток», в которой каждая перчатка может быть левой или правой, и каждая раскрывает свою «ориентацию» только в момент надлежащего наблюдения или измерения. И странность здесь в том, что хотя каждая перчатка может совершенно случайно стать правой или левой, но перчатки всегда оказываются парными, даже если они далеко разнесены: если одна оказывается левой, то другая — правой, и наоборот.

См., например: Gell-Mann M. The Quark and the Jaguar. New York: Freeman, 1994; Price H. Time’s Arrow and Archimedes’ Point. Oxford: Oxford University Press, 1996.

Есть ещё кое-что важное, с чем согласятся все наблюдатели, независимо от скорости их движения. Это подразумевается в нашем описании пространства-времени, но стоит сказать об этом прямо! Если одно событие является причиной другого (я кинул камень в окно, и окно разбилось), то все наблюдатели согласятся с тем, что причина стояла перед следствием (все согласятся, что я кинул камень перед тем, как окно разбилось). Для математически подкованного читателя это нетрудно показать с помощью нашего схематического описания пространства-времени. Если событие A является причиной события B, то линия, проведённая в пространстве-времени от A до B пересечёт каждый временно́й слой (временно́й слой наблюдателя, покоящегося по отношению к A) под углом, превышающим 45°. Например, если события A и B произошли в одном и том же месте пространства (от резинки, натянутой вокруг моего пальца [событие A] мой палец побелел [событие B]), то линия, соединяющая A и B, перпендикулярна плоскостям временны́х слоёв (составляет с ними угол 90°). Если же события A и B произошли в разных точках пространства (камень летит в окно), то всё же влияние из A в B передавалось со скоростью, не превышающей скорость света, откуда следует, что соответствующая траектория в пространстве-времени не может отклониться от оси времени на угол, превышающий 45°, и, значит, угол между траекторией и любым временны́м слоем всегда больше 45°. (Вспомните из примечания 9, что только свет может отклоняться на максимальный угол 45° по отношению к оси времени.) Временны́е слои двигающегося наблюдателя наклонены под углом к временны́м слоям неподвижного наблюдателя, но этот угол наклона всегда меньше 45° (поскольку относительная скорость движения двух наблюдателей не может превышать скорость света). И, поскольку угол траектории, связанной с причинно связанными событиями, всегда больше 45°, то эта траектория не может пересечь временно́й слой, относящийся к следствию, раньше слоя, относящегося к причине. Поэтому для всех наблюдателей причина всегда предшествует следствию.

Подготовленный читатель увидит, что я предполагаю, что пространство-время является пространством-временем Минковского. Аналогичные аргументы в других геометриях не обязательно будут давать полное пространство-время.

Склонный к математике читатель заметит, что свет путешествует вдоль нулевых геодезических пространственно-временно́й метрики, которые, для определённости, мы можем выбрать в виде ds² = dt² − a²(t)(dx²), где

В описании в тексте величина поля Хиггса задаётся его расстоянием от центра чаши, так что вы можете удивиться тому, что множество разных точек на круговом жёлобе чаши — а именно те, которые находятся на одинаковом расстоянии от центра чаши, — дают одинаковую величину поля Хиггса. Ответ, для математически подготовленного читателя, состоит в том, что различные точки жёлоба представляют величины поля Хиггса с одной и той же абсолютной величиной, но с различными фазами (величина поля Хиггса является комплексным числом).

Отметим для склонного к математике читателя: Эйнштейн заменил исходное уравнение

на

где Λ есть число, обозначающее величину космологической постоянной.

Вклад Линде и Альбрехта со Стейнхардтом был безусловно критически важным, поскольку оригинальная модель Гута — сейчас называемая старой инфляцией — страдала фатальным пороком. Вспомним, что переохлаждённое поле Хиггса (или в терминологии, которую мы вскоре введём, поле инфлатона) имеет величину, которая удерживается на выпуклости его энергетической чаши однородно во всём пространстве. Поэтому, когда я описывал, как быстро переохлаждённое поле инфлатона могло бы соскочить к значению, соответствующему наинизшей энергии, нам надо было бы спросить, произойдёт ли этот квантовый скачок везде в пространстве в одно и то же время. А ответ состоит в том, что нет, не произойдёт. Вместо этого, как объяснял Гут, релаксация поля инфлатона к нулевой величине энергии происходит через образование отдельных пузырьков: сначала инфлатон соскакивает к значению поля с нулевой величиной энергии в одной точке пространства, и от этой точки начинает расти пузырёк, стенки которого двигаются со скоростью света и в котором поле инфлатона спадает к нулевой величине энергии по мере продвижения стенки пузырька. Гут представил, что множество таких пузырьков со случайно расположенными центрами в конце концов сольются, что даст Вселенную с нулевой энергией поля инфлатона везде. Однако, как это понимал и сам Гут, проблема в том, что окружающее пузырьки пространство всё ещё заполнено полем инфлатона с ненулевой энергией, так что такие области по-прежнему будут подвержены быстрому инфляционному расширению, которое будет растаскивать пузырьки друг от друга. Поэтому нет гарантии, что растущие пузырьки найдут друг друга и сольются в однородное пространство. Более того, Гут утверждал, что когда поле инфлатона релаксирует к нулевой энергии, энергия поля не теряется, а переходит в обычные частицы материи и излучения, заполняющие Вселенную. Однако чтобы довести модель до соответствия с наблюдениями, это превращение должно было бы давать однородное распределение материи и энергии во всём пространстве. В механизме, который предложил Гут, это превращение должно было бы происходить через столкновения стенок пузырьков, но расчёты, проведённые Гутом и Эриком Вайнбергом из Колумбийского университета, а также Стивеном Хокингом, Ианом Моссом и Джоном Стюардом из Кембриджского университета, показали, что итоговое распределение материи и энергии получается не однородным. Таким образом, оригинальная инфляционная модель Гута привела к существенным проблемам в деталях.

Идеи Линде и Альбрехта со Стейнхардтом — теперь называемые новой инфляцией — решили эти досадные проблемы. Заменив форму чаши потенциальной энергии на ту, что показана на рис. 10.2, эти исследователи обнаружили, что инфлатон мог бы релаксировать к значению, соответствующему нулевой энергии, постепенно плавно «скатываясь» с энергетического холма в жёлоб, что не требует квантового скачка, как в оригинальном предложении. И, как показали их расчёты, это несколько более плавное скатывание позволяет инфляционному раздуванию пространства продолжаться достаточно долго, чтобы один отдельный пузырёк легко вырос до таких размеров, чтобы заключить в себе всю наблюдаемую Вселенную. Таким образом, в этом подходе не нужно беспокоиться о слиянии пузырьков. Также важно, что вместо превращения энергии поля инфлатона в обычные частицы и излучения при столкновениях пузырьков, в новом подходе инфлатон реализует это превращение энергии постепенно и однородно во всём пространстве, в процессе, напоминающем трение: по мере того как поле скатывается с энергетического холма — однородно в пространстве, — оно передаёт свою энергию путём «трения» о более привычные поля частиц и излучения (взаимодействуя с ними). Новая инфляция, таким образом, сохраняет все успехи подхода Гута, но оказывается способной решить существенные проблемы, с которыми тот столкнулся.

Примерно через год после большого прогресса, связанного с новой инфляцией, Андрей Линде совершил новый прорыв. Для того чтобы механизм новой инфляции работал, нужно, чтобы одновременно выполнялся ряд ключевых условий: чаша потенциальной энергии должна иметь правильную форму, величина поля инфлатона должна находиться изначально на выпуклости чаши (и, несколько более технический момент, сама величина поля инфлатона должна быть однородна в достаточно большой пространственной области). Хотя в принципе возможно, чтобы Вселенная как-то оказалась в таких условиях, Линде нашёл способ генерации инфляционного взрыва более простым и много более естественным способом. Линде показал, что даже для простой чаши потенциальной энергии, такой как на рис. 9.1а, и даже без точной настройки начальной величины поля инфлатона инфляция всё же легко может иметь место. Идея такова. Представьте, что в очень ранней Вселенной всё было «хаотическим», — например, представьте, что имелось поле инфлатона, величина которого хаотически скакала от одного значения к другому. В некоторых местах в пространстве его величина могла быть малой, в других местах его величина была средней, а ещё в других местах в пространстве его величина могла быть высокой. В местах, где величина поля была малой или средней, ничего особенно достойного внимания не происходило. Но Линде понял, что нечто потрясающе интересное могло бы иметь место в областях, где полю инфлатона случилось достичь большой величины (даже если область была совсем ничтожной, всего 10⁻³³ см в поперечнике). Когда величина поля инфлатона велика — когда поле находится высоко в энергетической чаше на рис. 9.1а, — начинает работать некая разновидность космического трения: поле пытается скатиться к более низкой потенциальной энергии, но его большая величина вызывает тормозящую силу трения, так что поле скатывается очень медленно. Таким образом, величина поля инфлатона должна была оставаться примерно постоянной и (примерно как инфлатон на вершине холма потенциальной энергии в новой инфляции) поле должно было давать примерно постоянный вклад в энергию и в отрицательное давление. И, как мы уже знаем, это те условия, которые требуются, чтобы вызвать взрыв инфляционного расширения. Таким образом, не используя специальную форму энергетической чаши и не требуя специальной конфигурации для поля инфлатона, хаотическая среда ранней Вселенной могла бы естественным образом вызвать инфляционное расширение. Неудивительно, что Линде назвал этот подход хаотической инфляцией. Многие физики рассматривают его как наиболее убедительную реализацию инфляционной парадигмы.

Склонный к математике читатель заметит, что свет путешествует вдоль нулевых геодезических пространственно-временно́й метрики, которые, для определённости, мы можем выбрать в виде ds² = dt² − a²(t)(dx²), где

Склонный к математике читатель заметит, что свет путешествует вдоль нулевых геодезических пространственно-временно́й метрики, которые, для определённости, мы можем выбрать в виде ds² = dt² − a²(t)(dx²), где

Вклад Линде и Альбрехта со Стейнхардтом был безусловно критически важным, поскольку оригинальная модель Гута — сейчас называемая старой инфляцией — страдала фатальным пороком. Вспомним, что переохлаждённое поле Хиггса (или в терминологии, которую мы вскоре введём, поле инфлатона) имеет величину, которая удерживается на выпуклости его энергетической чаши однородно во всём пространстве. Поэтому, когда я описывал, как быстро переохлаждённое поле инфлатона могло бы соскочить к значению, соответствующему наинизшей энергии, нам надо было бы спросить, произойдёт ли этот квантовый скачок везде в пространстве в одно и то же время. А ответ состоит в том, что нет, не произойдёт. Вместо этого, как объяснял Гут, релаксация поля инфлатона к нулевой величине энергии происходит через образование отдельных пузырьков: сначала инфлатон соскакивает к значению поля с нулевой величиной энергии в одной точке пространства, и от этой точки начинает расти пузырёк, стенки которого двигаются со скоростью света и в котором поле инфлатона спадает к нулевой величине энергии по мере продвижения стенки пузырька. Гут представил, что множество таких пузырьков со случайно расположенными центрами в конце концов сольются, что даст Вселенную с нулевой энергией поля инфлатона везде. Однако, как это понимал и сам Гут, проблема в том, что окружающее пузырьки пространство всё ещё заполнено полем инфлатона с ненулевой энергией, так что такие области по-прежнему будут подвержены быстрому инфляционному расширению, которое будет растаскивать пузырьки друг от друга. Поэтому нет гарантии, что растущие пузырьки найдут друг друга и сольются в однородное пространство. Более того, Гут утверждал, что когда поле инфлатона релаксирует к нулевой энергии, энергия поля не теряется, а переходит в обычные частицы материи и излучения, заполняющие Вселенную. Однако чтобы довести модель до соответствия с наблюдениями, это превращение должно было бы давать однородное распределение материи и энергии во всём пространстве. В механизме, который предложил Гут, это превращение должно было бы происходить через столкновения стенок пузырьков, но расчёты, проведённые Гутом и Эриком Вайнбергом из Колумбийского университета, а также Стивеном Хокингом, Ианом Моссом и Джоном Стюардом из Кембриджского университета, показали, что итоговое распределение материи и энергии получается не однородным. Таким образом, оригинальная инфляционная модель Гута привела к существенным проблемам в деталях.

Идеи Линде и Альбрехта со Стейнхардтом — теперь называемые новой инфляцией — решили эти досадные проблемы. Заменив форму чаши потенциальной энергии на ту, что показана на рис. 10.2, эти исследователи обнаружили, что инфлатон мог бы релаксировать к значению, соответствующему нулевой энергии, постепенно плавно «скатываясь» с энергетического холма в жёлоб, что не требует квантового скачка, как в оригинальном предложении. И, как показали их расчёты, это несколько более плавное скатывание позволяет инфляционному раздуванию пространства продолжаться достаточно долго, чтобы один отдельный пузырёк легко вырос до таких размеров, чтобы заключить в себе всю наблюдаемую Вселенную. Таким образом, в этом подходе не нужно беспокоиться о слиянии пузырьков. Также важно, что вместо превращения энергии поля инфлатона в обычные частицы и излучения при столкновениях пузырьков, в новом подходе инфлатон реализует это превращение энергии постепенно и однородно во всём пространстве, в процессе, напоминающем трение: по мере того как поле скатывается с энергетического холма — однородно в пространстве, — оно передаёт свою энергию путём «трения» о более привычные поля частиц и излучения (взаимодействуя с ними). Новая инфляция, таким образом, сохраняет все успехи подхода Гута, но оказывается способной решить существенные проблемы, с которыми тот столкнулся.

Примерно через год после большого прогресса, связанного с новой инфляцией, Андрей Линде совершил новый прорыв. Для того чтобы механизм новой инфляции работал, нужно, чтобы одновременно выполнялся ряд ключевых условий: чаша потенциальной энергии должна иметь правильную форму, величина поля инфлатона должна находиться изначально на выпуклости чаши (и, несколько более технический момент, сама величина поля инфлатона должна быть однородна в достаточно большой пространственной области). Хотя в принципе возможно, чтобы Вселенная как-то оказалась в таких условиях, Линде нашёл способ генерации инфляционного взрыва более простым и много более естественным способом. Линде показал, что даже для простой чаши потенциальной энергии, такой как на рис. 9.1а, и даже без точной настройки начальной величины поля инфлатона инфляция всё же легко может иметь место. Идея такова. Представьте, что в очень ранней Вселенной всё было «хаотическим», — например, представьте, что имелось поле инфлатона, величина которого хаотически скакала от одного значения к другому. В некоторых местах в пространстве его величина могла быть малой, в других местах его величина была средней, а ещё в других местах в пространстве его величина могла быть высокой. В местах, где величина поля была малой или средней, ничего особенно достойного внимания не происходило. Но Линде понял, что нечто потрясающе интересное могло бы иметь место в областях, где полю инфлатона случилось достичь большой величины (даже если область была совсем ничтожной, всего 10⁻³³ см в поперечнике). Когда величина поля инфлатона велика — когда поле находится высоко в энергетической чаше на рис. 9.1а, — начинает работать некая разновидность космического трения: поле пытается скатиться к более низкой потенциальной энергии, но его большая величина вызывает тормозящую силу трения, так что поле скатывается очень медленно. Таким образом, величина поля инфлатона должна была оставаться примерно постоянной и (примерно как инфлатон на вершине холма потенциальной энергии в новой инфляции) поле должно было давать примерно постоянный вклад в энергию и в отрицательное давление. И, как мы уже знаем, это те условия, которые требуются, чтобы вызвать взрыв инфляционного расширения. Таким образом, не используя специальную форму энергетической чаши и не требуя специальной конфигурации для поля инфлатона, хаотическая среда ранней Вселенной могла бы естественным образом вызвать инфляционное расширение. Неудивительно, что Линде назвал этот подход хаотической инфляцией. Многие физики рассматривают его как наиболее убедительную реализацию инфляционной парадигмы.

Вклад Линде и Альбрехта со Стейнхардтом был безусловно критически важным, поскольку оригинальная модель Гута — сейчас называемая старой инфляцией — страдала фатальным пороком. Вспомним, что переохлаждённое поле Хиггса (или в терминологии, которую мы вскоре введём, поле инфлатона) имеет величину, которая удерживается на выпуклости его энергетической чаши однородно во всём пространстве. Поэтому, когда я описывал, как быстро переохлаждённое поле инфлатона могло бы соскочить к значению, соответствующему наинизшей энергии, нам надо было бы спросить, произойдёт ли этот квантовый скачок везде в пространстве в одно и то же время. А ответ состоит в том, что нет, не произойдёт. Вместо этого, как объяснял Гут, релаксация поля инфлатона к нулевой величине энергии происходит через образование отдельных пузырьков: сначала инфлатон соскакивает к значению поля с нулевой величиной энергии в одной точке пространства, и от этой точки начинает расти пузырёк, стенки которого двигаются со скоростью света и в котором поле инфлатона спадает к нулевой величине энергии по мере продвижения стенки пузырька. Гут представил, что множество таких пузырьков со случайно расположенными центрами в конце концов сольются, что даст Вселенную с нулевой энергией поля инфлатона везде. Однако, как это понимал и сам Гут, проблема в том, что окружающее пузырьки пространство всё ещё заполнено полем инфлатона с ненулевой энергией, так что такие области по-прежнему будут подвержены быстрому инфляционному расширению, которое будет растаскивать пузырьки друг от друга. Поэтому нет гарантии, что растущие пузырьки найдут друг друга и сольются в однородное пространство. Более того, Гут утверждал, что когда поле инфлатона релаксирует к нулевой энергии, энергия поля не теряется, а переходит в обычные частицы материи и излучения, заполняющие Вселенную. Однако чтобы довести модель до соответствия с наблюдениями, это превращение должно было бы давать однородное распределение материи и энергии во всём пространстве. В механизме, который предложил Гут, это превращение должно было бы происходить через столкновения стенок пузырьков, но расчёты, проведённые Гутом и Эриком Вайнбергом из Колумбийского университета, а также Стивеном Хокингом, Ианом Моссом и Джоном Стюардом из Кембриджского университета, показали, что итоговое распределение материи и энергии получается не однородным. Таким образом, оригинальная инфляционная модель Гута привела к существенным проблемам в деталях.

Идеи Линде и Альбрехта со Стейнхардтом — теперь называемые новой инфляцией — решили эти досадные проблемы. Заменив форму чаши потенциальной энергии на ту, что показана на рис. 10.2, эти исследователи обнаружили, что инфлатон мог бы релаксировать к значению, соответствующему нулевой энергии, постепенно плавно «скатываясь» с энергетического холма в жёлоб, что не требует квантового скачка, как в оригинальном предложении. И, как показали их расчёты, это несколько более плавное скатывание позволяет инфляционному раздуванию пространства продолжаться достаточно долго, чтобы один отдельный пузырёк легко вырос до таких размеров, чтобы заключить в себе всю наблюдаемую Вселенную. Таким образом, в этом подходе не нужно беспокоиться о слиянии пузырьков. Также важно, что вместо превращения энергии поля инфлатона в обычные частицы и излучения при столкновениях пузырьков, в новом подходе инфлатон реализует это превращение энергии постепенно и однородно во всём пространстве, в процессе, напоминающем трение: по мере того как поле скатывается с энергетического холма — однородно в пространстве, — оно передаёт свою энергию путём «трения» о более привычные поля частиц и излучения (взаимодействуя с ними). Новая инфляция, таким образом, сохраняет все успехи подхода Гута, но оказывается способной решить существенные проблемы, с которыми тот столкнулся.

Примерно через год после большого прогресса, связанного с новой инфляцией, Андрей Линде совершил новый прорыв. Для того чтобы механизм новой инфляции работал, нужно, чтобы одновременно выполнялся ряд ключевых условий: чаша потенциальной энергии должна иметь правильную форму, величина поля инфлатона должна находиться изначально на выпуклости чаши (и, несколько более технический момент, сама величина поля инфлатона должна быть однородна в достаточно большой пространственной области). Хотя в принципе возможно, чтобы Вселенная как-то оказалась в таких условиях, Линде нашёл способ генерации инфляционного взрыва более простым и много более естественным способом. Линде показал, что даже для простой чаши потенциальной энергии, такой как на рис. 9.1а, и даже без точной настройки начальной величины поля инфлатона инфляция всё же легко может иметь место. Идея такова. Представьте, что в очень ранней Вселенной всё было «хаотическим», — например, представьте, что имелось поле инфлатона, величина которого хаотически скакала от одного значения к другому. В некоторых местах в пространстве его величина могла быть малой, в других местах его величина была средней, а ещё в других местах в пространстве его величина могла быть высокой. В местах, где величина поля была малой или средней, ничего особенно достойного внимания не происходило. Но Линде понял, что нечто потрясающе интересное могло бы иметь место в областях, где полю инфлатона случилось достичь большой величины (даже если область была совсем ничтожной, всего 10⁻³³ см в поперечнике). Когда величина поля инфлатона велика — когда поле находится высоко в энергетической чаше на рис. 9.1а, — начинает работать некая разновидность космического трения: поле пытается скатиться к более низкой потенциальной энергии, но его большая величина вызывает тормозящую силу трения, так что поле скатывается очень медленно. Таким образом, величина поля инфлатона должна была оставаться примерно постоянной и (примерно как инфлатон на вершине холма потенциальной энергии в новой инфляции) поле должно было давать примерно постоянный вклад в энергию и в отрицательное давление. И, как мы уже знаем, это те условия, которые требуются, чтобы вызвать взрыв инфляционного расширения. Таким образом, не используя специальную форму энергетической чаши и не требуя специальной конфигурации для поля инфлатона, хаотическая среда ранней Вселенной могла бы естественным образом вызвать инфляционное расширение. Неудивительно, что Линде назвал этот подход хаотической инфляцией. Многие физики рассматривают его как наиболее убедительную реализацию инфляционной парадигмы.

Если мы знаем, что поле, подобное любому из известных силовых полей, является частью структуры космоса, тогда мы знаем, что оно существует везде — оно вплетено в ткань космоса. Невозможно удалить поле, так же как невозможно удалить само пространство. Следовательно, самое большее, что мы можем сделать в смысле удаления поля, это иметь его с величиной, которая минимизирует его энергию. Для силовых полей вроде электромагнитного эта величина равна нулю, как обсуждается в тексте. Для полей вроде инфлатона или поля Хиггса стандартной модели (которое для простота мы тут не рассматриваем) эта величина может быть не равна нулю, и значение этой величины зависит от точной формы потенциальной энергии поля, как мы обсуждали в главах 9 и 10. Как отмечено в тексте, чтобы не отвлекаться от сути дискуссии, мы явно обсуждаем только квантовые флуктуации полей, состояние минимальной энергии которых достигается при нулевой величине поля, хотя флуктуации, связанные с полями Хиггса или инфлатона, не приводят к изменениям в выводах.

Эксперты в теории струн (и те, кто прочитал «Элегантную Вселенную», главу 12) заметят, что более точное утверждение состоит в том, что определённые формулировки теории струн (обсуждаемые в главе 13 этой книги) допускают предельные случаи, в которых имеется одиннадцать пространственно-временных измерений. Всё ещё обсуждается, не лучше ли думать о теории струн как о теории, на фундаментальном уровне действующей в одиннадцати пространственно-временных измерениях, или одиннадцатимерная формулировка должна рассматриваться как частный предел (например, когда константа струнного взаимодействия выбирается большой в формулировке теории типа IIA) наряду с другими пределами. Так как это различие мало влияет на наше обсуждение на общем уровне, я выбрал первую точку зрения, в значительной степени из-за литературной простоты, когда имеется фиксированное и неизменное число измерений.

В 1974 г. Рассел Халс и Джозеф Тейлор открыли двойную систему пульсаров — два пульсара (быстро вращающиеся нейтронные звёзды), обращающиеся друг вокруг друга. Поскольку пульсары движутся очень быстро и очень близко друг к другу, то общая теория относительности Эйнштейна предсказывает, что они испускают сильное гравитационное излучение. Хотя очень проблематично обнаружить это излучение непосредственно, общая теория относительности показывает, что излучение должно проявляться и косвенно: излучение энергии должно приводить к постепенному уменьшению периода орбитального движения пульсаров. Пульсары непрерывно наблюдались с момента их открытия, и было обнаружено, что их орбитальный период действительно уменьшился, и это уменьшение согласуется с предсказаниями общей теории относительности с точностью до одной тысячной. Таким образом, это служит веским свидетельством в пользу существования гравитационного излучения даже без его прямого обнаружения. За это открытие Халс и Тейлор удостоились Нобелевской премии по физике за 1993 г.

Для склонного к математике читателя следует заметить, что поскольку числа могут стать столь велики, то энтропия на самом деле определяется как логарифм числа возможных перестановок — но эта деталь не имеет отношения к рассматриваемой проблеме. Однако, с принципиальной точки зрения, это важно, поскольку очень удобно, что энтропия является так называемой аддитивной величиной. Это означает, что если вы объедините две системы вместе, энтропия их совокупности есть сумма их индивидуальных энтропий. Это остаётся правильным только для энтропии в форме логарифма, так как число перестановок в этом случае задаётся произведением индивидуального числа перестановок подсистем, так что логарифм числа перестановок является аддитивной величиной.