Хорошо, но ведь электромагнитное взаимодействие является лишь одним из четырёх взаимодействий природы. Как насчёт остальных трёх? Могут ли они внедриться в дополнительные измерения и позволить нам вскрыть их существование? Что касается сильного и слабого ядерного взаимодействия, то ответ снова отрицательный. Расчёты показывают, что в сценарии мира на бране частицы — переносчики этих взаимодействия (глюоны и W- и Z-частицы) также возникают из колебательных мод открытых струн, так что они тоже заперты, как и фотоны, в трёх наших измерениях, и процессы, включающие сильное и слабое ядерное взаимодействие, столь же слепы по отношению к дополнительным измерениям. То же самое относится и к частицам материи. Электроны, кварки и все прочие типы частиц также возникают из колебаний открытых струн с пойманными концами. Таким образом, в сценарии мира на бране вы и я, а также всё, что мы когда-либо видели, навечно заключены в пределах нашей 3-браны. Учитывая время, можно сказать, что всё заключено в пределах нашего четырёхмерного среза пространства-времени.
Это почти всё, но только почти. С гравитационным взаимодействием ситуация совсем другая. Математический анализ в рамках сценария мира на бране показывает, что гравитоны возникают из колебательных мод замкнутых струн, как это было и в ранее обсуждавшихся сценариях «безбранного мира». А замкнутые струны — струны, не имеющие концов, — не ограничены бранами. Они могут столь же свободно покинуть брану, как и путешествовать по ней или через неё. Так что если бы мы жили на бране, то не были бы полностью отрезаны от дополнительных измерений. Посредством гравитационной силы мы могли бы взаимодействовать с дополнительными измерениями. В этом сценарии гравитация была бы нашим единственным способом выхода за пределы наших трёх пространственных измерений.
Сколь большими должны быть дополнительные измерения, чтобы мы начали осознавать их посредством гравитационного взаимодействия? Это очень интересный и важный вопрос, так что давайте подробнее остановимся на нём.
Гравитация и большие дополнительные измерения
Ещё в 1687 г., формулируя закон всемирного тяготения, Ньютон в действительности сделал сильное утверждение относительно количества пространственных измерений. Ньютон не просто сказал, что сила притяжения между объектами уменьшается по мере увеличения расстояния между ними. Он предложил формулу, обратную квадратичную зависимость, точно описывающую, как уменьшается гравитационное притяжение с увеличением расстояния между двумя объектами. Согласно этой формуле, если удвоить расстояние между объектами, то гравитационное притяжение между ними снизится в 4 раза (22); если утроить это расстояние, то притяжение уменьшится в 9 раз (32); а если учетверить расстояние, то гравитационное притяжение станет слабее в 16 раз (42); в общем случае, гравитационная сила падает пропорционально квадрату расстояния между объектами. Как стало совершенно очевидно за последние несколько сотен лет, эта формула прекрасно работает.
Но почему сила гравитации подчиняется именно квадратичной зависимости? Почему бы ей не падать пропорционально кубу расстояния (так что с удвоением расстояния сила уменьшалась бы в 8 раз), либо четвёртой степени (так что с удвоением расстояния сила уменьшалась бы в 16 раз), либо, возможно, просто пропорционально расстоянию между объектами (так что с удвоением расстояния сила уменьшалась бы в 2 раза)? Ответ напрямую связан с количеством измерений пространства.
Чтобы это понять, можно, например, думать о количестве гравитонов, испускаемых и поглощаемых объектами в зависимости от расстояния между ними, или о том, насколько кривизна пространства-времени уменьшается по мере увеличения расстояния между объектами. Но мы поступим проще, взяв на вооружение старый подход, который быстро и наглядно приведёт нас к правильному ответу. Посмотрим на рисунок (рис. 13.4а), схематически иллюстрирующий гравитационное поле массивного объекта (например, Солнца), во многом подобный рис. 3.1, на котором представлено магнитное поле стержневого магнита. Отметим важное отличие: в то время как силовые линии магнитного поля простираются от северного полюса магнита к его южному полюсу, линии гравитационного поля однородно расходятся во всех направлениях от одной точки, схематически представляющей Солнце. Сила гравитационного притяжения, испытываемого другим объектом (представим себе спутник, вращающийся по орбите вокруг Солнца), будет ощущаться пропорционально плотности линий поля в месте нахождения этого объекта. Чем больше линий поля пронизывают спутник (как на рис. 13.4б), тем больше испытываемое им гравитационное притяжение.
Рис. 13.4. (а) Гравитационное притяжение между двумя объектами, такими как Солнце и спутник, обратно пропорционально квадрату расстоянии между ними. Причина кроется в том, что линии гравитационного поля Солнца расходятся однородно во всех направлениях (б) и, следовательно, их плотность на расстоянии d обратно пропорциональна площади воображаемой сферы радиуса d, схематически изображённой на рис. (в), а эта площадь согласно элементарной геометрии пропорциональна d2
Теперь мы можем объяснить, откуда берётся обратная квадратичная зависимость в законе Ньютона. Воображаемая сфера с центром на Солнце, проходящая через место нахождения спутника (рис. 13.4в), имеет площадь (подобно площади поверхности любой сферы в трёхмерном пространстве), пропорциональную квадрату её радиуса, т. е. квадрату расстояния между Солнцем и спутником. Значит, плотность линий гравитационного поля, проходящих через сферу (суммарное количество линий, поделённое на площадь поверхности сферы), уменьшается по закону обратных квадратов с увеличением расстояния между Солнцем и спутником. Если удвоить это расстояние, то одно и то же количество линий поля будет равномерно распределено по сфере, имеющей в четыре раза большую площадь, и, следовательно, гравитационное притяжение уменьшится в 4 раза на этом расстоянии. Таким образом, обратная квадратичная зависимость в законе Ньютона является отражением геометрических свойств сфер в трёхмерном пространстве.
Но если бы Вселенная имела два или даже только одно пространственное измерение, то как изменилась бы формула Ньютона? На рис. 13.5а представлена двумерная версия ситуации с Солнцем и вращающимся спутником. Как видно, линии гравитационного поля Солнца равномерно распределяются по окружности — аналогу сферы в двумерном пространстве. Поскольку длина окружности пропорциональна её радиусу (а не квадрату радиуса), то при удвоении расстояния между Солнцем и спутником плотность линий поля уменьшается в 2 раза (а не в 4 раза), из-за чего сила гравитационного притяжения падает только в 2 раза (а не в 4). Если Вселенная имела бы только два пространственных измерения, то гравитационная сила была бы обратно пропорциональна расстоянию, а не квадрату расстояния.
Рис. 13.5. (а) Во Вселенной только с двумя пространственными измерениями гравитационная сила падает пропорционально расстоянию, поскольку линии гравитационного поля однородно распределяются по окружности, длина которой пропорциональна её радиусу. (б) В одномерной Вселенной у линий гравитационного поля совсем не было бы места для пространственного расхождения, так что гравитационная сила была бы постоянной, независимо от расстояния
Если Вселенная имела бы лишь одно пространственное измерение, как на рис. 13.5б, то закон всемирного тяготения был бы ещё проще. У линий гравитационного поля вообще бы не было места для пространственного расхождения, так что сила гравитации не уменьшалась бы с расстоянием. Если удвоить расстояние между Солнцем и спутником (при условии, что подобные объекты могли бы существовать в такой Вселенной), то спутник будет пронизывать всегда одно и то же количество линий поля и, следовательно, сила гравитации между Солнцем и спутником вообще не изменялась бы.