3) В приложениях Р. г. к механике и физике важную роль играют дополнительные структуры, согласующиеся в том или ином смысле с метрикой риманова пространства. Так, например:

  а) Физическим представлениям об упругой сплошной среде с непрерывным распределением источников внутренних напряжений соответствует риманово пространство с некоторой метрической связностью: параллельное перенесение, соответствующее ей, определяет так называемое естественное состояние среды вдоль кривой, а кручение отождествляется с плотностью дислокации;

  б) римановы пространства с почти комплексной структурой (определяется полем один раз ковариантного и один раз контравариантного тензора

 такого, что

где

 — Кронекера символ) используются квантовой механикой для описания наблюдаемых и состояний систем многих частиц;

  в) привлечение понятия так называемой конформной связности, т. е. связности риманова пространства, при которой результат параллельного перенесения метрического тензора g_ij пропорционален ему самому, позволило смоделировать некоторые из так называемых Бора постулатов, в частности избранные (или «разрешенные») орбиты движения электронов в атоме — кривые, вдоль которых метрический тензор сохраняется.

  4) Развитие Р. г. в связи с общей теорией относительности (см. Тяготение) и механикой сплошных сред породило различные обобщения её предмета, главнейшими из которых являются так называемые псевдоримановы пространства. Таково, например, согласно теории тяготения, многообразие событий (многообразие пространства — времени) — четырёхмерное пространство с заданной на нём знаконеопределённой невырожденной квадратичной формой

(коэффициенты такой «метрики», допускающей мнимые расстояния, как раз и характеризуют поле тяготения, играя роль потенциальных функций). Эта форма в каждой точке пространства событий может быть приведена к виду

ds²= dx ²+ dy ²+ dz ²— dt ²

где х, у, z — пространственные координаты, t — время. Физически такие, так называемые локально галилеевы, системы отсчёта являются свободно падающими в поле тяготения. Однако ввести такую систему на всём многообразии невозможно (поскольку наличие поля тяготения математически выражается в кривизне псевдориманова пространства).

  Другой путь обобщения Р. г. связан с рассмотрением более общих законов определения расстояний, задаваемых в виде линейного элемента ds (см. Финслерова геометрия), и более общих законов параллельного перенесения, а также с отказом от требований регулярности.

  Лит.: Риман Б., Соч., пер. с нем., М. — Л., 1948; Рашевский П. К., Риманова геометрия и тензорный анализ, 3 изд., М., 1967; Эйзенхарт Л. П., Риманова геометрия, пер. с англ., М., 1948; Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971.

  А. Д. Александров, Ю. Ф. Борисов.

Риманова поверхность

Ри'манова пове'рхность, одно из основных понятий теории функций комплексного переменного. Р. п. введена Б. Риманом (1851) с целью заменить изучение многозначных аналитических функций изучением однозначных аналитических функций точки на соответствующих Р. п. См. Аналитические функции.

Риманово пространство

Ри'маново простра'нство, пространство, в малых областях которого имеет место приближённо (с точностью до малых высшего порядка сравнительно с размерами областей) евклидова геометрия, хотя точно такое пространство может не быть евклидовым. Р. п. названы по имени Б. Римана, наметившего в 1854 основы теории таких пространств (см. Риманова геометрия). Простейшими Р. п. являются евклидово пространство и примыкающие к нему два других пространства постоянной кривизны, в которых имеет место Лобачевского геометрия и Римана геометрия (не смешивать последнюю с общей римановой геометрией, которая изучает Р. п. вообще).

Рименшнейдер Тильман

Ри'меншнейдер (Riemenschneider) Тильман (около 1460, Хейлигенштадт, Тюрингия, — 7.7.1531, Вюрцбург), немецкий скульптор эпохи Возрождения. Работал в Вюрцбурге (с 1483). В 1525 за связь с восставшими франконскими крестьянами был брошен в тюрьму и подвергнут пыткам. Произведения Р. (статуи Адама и Евы; надгробие Рудольфа фон Шеренберг, камень, 1496—99, собор Санкт-Килиан, Вюрцбург; алтарь святой крови, дерево, 1501—04, Якобскирхе, Ротенбург) сохраняют динамику форм и изломанность линий, характерную для поздней готики. Однако Р. одним из первых отказался от традиционной раскраски и позолоты статуй, наделял отчётливо индивидуализированные персонажи интенсивной духовной жизнью, виртуозно используя для этого фактуру материала и обращая особое внимание на жизненную убедительность мимики и жестов. В поздних работах Р. (алтарь Марии, дерево, 1505—10, Херготскирхе, Креглинген; надгробие Лоренца фон Бибра, камень, около 1519, собор Санкт-Килиан, Вюрцбург; рельеф «Оплакивание Христа» в алтаре приходской церкви в Майдбронне, известняк, 1519—1523) проявляется стремление мастера к большей обобщенности и внутренней ясности образов, к гармонической уравновешенности композиции.

  Лит.: Flesche Н., Tilman Riemenschneider. [Album], Dresden, [1957]; Gerstenberg K., Tilman Riemenschneider, 5 Aufl., Münch., [1962].

  В. Д. Синюков.

Т. Рименшнейдер. Статуя Евы. Камень. 1491—93. Майнско-Франконский музей. Вюрцбург.

Т. Рименшнейдер. «Св. Симон» (из Мариенкапелле в Вюрцбурге). Дерево. Около 1500. Баварский национальный музей. Мюнхен.

Т. Рименшнейдер. Статуя Адама. Камень. 1491—93. Майнско-Франконский музей. Вюрцбург.