![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-197308861.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-197308861.png)
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-195005873.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-195005873.png)
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-178945877.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-178945877.png)
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-138204362.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-138204362.png)
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-114062873.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-114062873.png)
i = 1, …, n.
откуда следует, что разность ds — dso имеет порядок не ниже, чем
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-173358574.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-173358574.png)
Евклидово пространство, поставленное в такое соответствие с римановым, и называется соприкасающимся (в отличие от обычного касательного пространства). Добиться более высокого порядка совпадения за счёт специального выбора соответствия между римановым и евклидовым пространствами в общем случае уже невозможно. Поэтому коэффициенты Rmlki характеризуют отличие риманова пространства от евклидова; они являются компонентами так называемого тензора кривизны (или тензора Римана — Кристоффеля), определяемого по формуле
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-103562434.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-103562434.png)
лишь через gik, и их производные до второго порядка.
Тождественное обращение в нуль тензора кривизны необходимо и достаточно для того, чтобы пространство в окрестности каждой точки совпадало с евклидовым (в целом оно может отличаться от него своим строением, подобно тому как боковая поверхность цилиндра отличается от плоскости).
Параллельное перенесение. Для всякой гладкой кривой L риманова пространства существует отображение её окрестности UL в евклидово пространство EL при котором оно оказывается соприкасающимся во всех точках кривой L. Образ кривой L в пространстве EL называется развёрткой L' этой кривой на евклидово пространство (для поверхности F в евклидовом пространстве соприкасающееся евклидово пространство вдоль кривой L можно интерпретировать как развёрнутую на плоскость огибающую семейства плоскостей, касательных к F вдоль L). Вектор (и любой тензор) параллельно переносится вдоль кривой L, если параллельно переносится соответствующий вектор (тензор) в евклидовом пространстве EL, соприкасающемся с римановым вдоль этой кривой. Аналитически параллельное перенесение вектора ai вдоль кривой xi = xi (t) определяется дифференциальным уравнением
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-111559540.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-111559540.png)
Если
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-153204694.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-153204694.png)
Геодезическая кривизна (первая кривизна) кривой L в точке М оценивает её отклонение от геодезической L, касающейся L в точке М, и определяется следующим образом. Пусть касательный вектор к L в точке М параллельно перенесён в точку M' и образует там угол j с касательной к L в точке М, пусть s — длина дуги MM' кривой L. При стремлении M' к М существует предел
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-177078836.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-177078836.png)
который и называется геодезической кривизной кривой L в точке М. Аналитически геодезическая кривизна кривой xI = xi (s), параметризованной длиной дуги, определяется формулами:
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-183314165.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-183314165.png)
где
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-157677306.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-157677306.png)
таким образом, геодезическая кривизна кривой L совпадает с (первой) кривизной её развёртки L, а геодезические линии во всех точках имеют нулевую геодезическую кривизну.
Для кривой L в римановом пространстве R определяются также вторая и т.д. кривизны и имеют место соотношения, аналогичные обычным формулам Френе (см. Дифференциальная геометрия) для кривых евклидова пространства.
Риманова кривизна. Пусть М — точка риманова пространства, F — двумерная поверхность xi = xi (u, u), проходящая через М, L — простой замкнутый контур на F, проходящий через М, s — площадь участка поверхности, ограниченного контуром L. Пусть произвольный вектор ai, касательный к поверхности F (т. е. линейно выражающийся через векторы
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-146528049.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-146528049.png)
Тогда составляющая перенесённого вектора, касательная к F, окажется повёрнутой по отношению к ai на угол j (положительное направление отсчёта углов должно совпадать с направлением обхода L). При стягивании L в точку М существует предел
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-116844542.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-116844542.png)
называется кривизной риманова пространства (римановой кривизной) в данной точке в направлении двумерной поверхности; К зависит не от поверхности, а лишь от её направления в точке М, т. е. от направления двумерной плоскости касательного евклидова пространства, содержащей векторы
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-133349740.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-133349740.png)
Риманова кривизна К связана с тензором кривизны формулой:
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-118833730.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-118833730.png)
где
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-163163221.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-163163221.png)
причём параметры u, u выбраны так, что площадь параллелограмма, построенного на векторах
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-183700860.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-183700860.png)
В двумерном случае К совпадает с полной кривизной (Theorema egregium К. Ф. Гаусса, 1827), при этом для области G, ограниченной простой замкнутой кривой Г, имеющей геодезическую кривизну k, справедлива так называемая формула Гаусса-Бонне:
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-135731663.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-135731663.png)
в частности, для треугольника, образованного отрезками геодезических
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-134929449.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-134929449.png)
где А, В, С — величины углов треугольника. Для замкнутого (т. е. без границы) двумерного риманова пространства R его эйлерова характеристика c(R) пропорциональна интегралу римановой кривизны:
![Большая Советская Энциклопедия (РИ) i-images-199382644.png](https://litlife.club/books/106232/read/images/i-images-199382644.png)
Эта формула обобщена на случай чётно-мерного замкнутого риманова пространства, в котором интегрируется некоторая функция компонент тензора кривизны.
Если в каждой точке риманова пространства кривизна не зависит от направления двумерной поверхности, то она не меняется и от точки к точке, т. е. пространство имеет постоянную кривизну. Представляют интерес также (в частности, для описания механических систем с циклическими координатами) римановы пространства со специальной структурой тензора кривизны; они суть обобщение пространств постоянной кривизны и имеют достаточно обширную группу движений. Таковы, например, симметрические пространства, характеризующиеся тем, что их тензор кривизны не меняется при параллельном перенесении, субпроективные пространства, характеризующиеся специальной координатной системой, в которой геодезические описываются линейными уравнениями, и др.