Лит.: Канторович Л. В., Экономический расчет наилучшего использования ресурсов, М., 1959; Лурье А. Л., О математических методах решения задач на оптимум при планировании социалистического хозяйства, М., 1964; Новожилов В. В., Проблемы измерения затрат и результатов при оптимальном планировании, М., 1967.

  Н. Я. Петраков.

Объективное вменение

Объекти'вное вмене'ние, в буржуазном праве привлечение к уголовной ответственности за причинение общественно опасного вреда при отсутствии вины. Означает применение наказания за деяния и их последствия в случае, когда лицо, привлекаемое к уголовной ответственности, не предвидело и не могло их предвидеть.

  В современной буржуазной теории уголовного права вместо понятия вины нередко употребляется понятие опасного состояния личности, в котором уголовная ответственность обосновывается не виной лица, привлекаемого к ответственности, а субъективным отношением судей к обвиняемому и содеянному им. Такой подход предоставляет суду неограниченные возможности судейского произвола.

  Советское уголовное право отвергает О. в., в его основе лежит принцип ответственности лишь при наличии индивидуальной вины: наказанию подлежит только лицо, виновное в совершении преступления, т. е. умышленно или по неосторожности совершившее предусмотренное уголовным законом общественно опасное деяние.

Объективный идеализм

Объекти'вный идеали'зм, одна из основных разновидностей идеализма; в отличие от субъективного идеализма, считает первоосновой мира некое всеобщее сверхиндивидуальное духовное начало («идея», «мировой разум» и т.п.). См. Идеализм.

Объектное спряжение

Объе'ктное спряже'ние, выражение в морфологической форме глагола категорий именного или местоименного объекта (его лица, числа, иногда рода или класса). В этой роли выступают аффиксы т. н. объектного ряда (ср. аварское дица чу б-ачана — «я лошадь привёл», где при отсутствии аффикса субъекта глагольный префикс б- указывает на именной класс прямого дополнения). При часто встречающемся в глаголе сочетании объектного аффикса с субъектным спряжение становится субъектно-объектным (см. Полиперсональное спряжение). Чисто объектное спряжение встречается главным образом в языках эргативной (см. Эргативная конструкция) типологии.

Объём

Объём, одна из основных величин, связанных с геометрическими телами. В простейших случаях измеряется числом умещающихся в теле единичных кубов, т. е. кубов с ребром, равным единице длины.

  Задача вычисления О. простейших тел, идущая от практических потребностей, была одним из стимулов развития геометрии. Математика Древнего Востока (Вавилония, Египет) располагала рядом правил (большей частью эмпирических) для вычисления О. тел, с которыми чаще всего приходилось встречаться на практике (например, призматических брусьев, пирамид полных и усечённых, цилиндров). Среди формул О. были и неточные, дававшие не слишком заметную процентную ошибку лишь в пределах употребительных линейных размеров тела. Греческая математика последних столетий до нашей эры освободила теорию вычисления О. от приближённых эмпирических правил. В «Началах» Евклида и в сочинениях Архимеда имеются только точные правила для вычисления О. многогранников и некоторых круглых тел (цилиндра, конуса, шара и их частей). При этом уже в учении об О. многогранников греческой математики должны были преодолеть значительные трудности, существенно отличающие этот отдел геометрии от родственного ему отдела о площадях многоугольников. Источник различия, как выяснилось лишь в начале 20 в., состоит в следующем: в то время как всякий многоугольник можно посредством надлежащих прямолинейных разрезов и перекладывания полученных частей «перекроить» в квадрат, аналогичное преобразование (посредством плоских разрезов) произвольного многогранника в куб оказывается, вообще говоря, невозможным (теорема Дена, 1901). Отсюда становится ясным, почему Евклид уже в случае треугольной пирамиды был вынужден прибегнуть к бесконечному процессу последовательных приближений, пользуясь при доказательстве исчерпывания методом. Бесконечный процесс лежит и в основе современной трактовки измерения О., сводящийся к следующему. Рассматриваются всевозможные многогранники, вписанные в тело К, и всевозможные многогранники, описанные вокруг тела К. Вычисление О. многогранника сводится к вычислению объёмов составляющих его тетраэдров (треугольных пирамид). Пусть {V_i} — числовое множество объёмов, вписанных в тело многогранников, a {V_d} — числовое множество описанных вокруг тела К многогранников. Множество {V_i} ограничено сверху (объёмом любого описанного многогранника), а множество {V_d} ограничено снизу (например, числом нуль). Наименьшее из чисел, ограничивающее сверху множество {V_i}, называется нижним объёмом V тела К; а наибольшее из чисел, ограничивающее снизу множество {V_d}, называется верхним объёмом

 тела К. Если верхний объём  тела К совпадает с его нижним объёмом V, то число V = 

 = V  называется объёмом тела К, а само тело — кубируемым телом. Для того чтобы тело было кубируемым, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа e можно было указать такой описанный вокруг тела многогранник и такой вписанный в тело многогранник, разность V_d — V_i объёмов которых была бы меньше e.

  Аналитически О. может быть выражен с помощью кратных интегралов. Пусть тело К (рис. 1) ограничено цилиндрической поверхностью с параллельными оси Oz образующими, квадрируемой областью М плоскости Оху и поверхностью z = f (x, у), которую любая параллель к образующей цилиндра пересекает в одной и только в одной точке. Объём такого тела может быть вычислен с помощью двойного интеграла

.

  О. тела, ограниченного замкнутой поверхностью, которая встречается с параллелью к оси Oz не более чем в двух точках, может быть вычислен как разность О. двух тел, подобных предшествующему. О. тела может быть выражен в виде тройного интеграла

,

  где интегрирование распространяется на часть пространства, занятую телом. Иногда удобно вычислять О. тел через его поперечные сечения. Пусть тело (рис.2), содержащееся между плоскостями z = а и z = b (b > а), рассекается плоскостями, перпендикулярными оси Oz. Если все сечения тела квадрируемы и площадь сечения S — непрерывная функция от z, то О. тела может быть выражен простым интегралом

. (1)

  Исторически происходило так, что задолго до создания интегрального исчисления операция интегрирования фактически применялась (в различных геометрических формах) к вычислению О. простейших тел (пирамиды, шара, некоторых тел вращения), чем и была подготовлена почва для оформления этого исчисления в 17—18 вв. В частности, формулу (1) содержал в зародыше т. н. Кавальери принцип, сохраняющий своё значение для школьного преподавания. В элементарном преподавании полезной оказывается также Симпсона формула, соответствующая тому случаю, когда в (1) функция S (z) является многочленом не выше 3-й степени.