Динамическая система

Динами'ческая систе'ма (в классическом смысле), механическая система с конечным числом степеней свободы, например система конечного числа материальных точек или твёрдых тел, движущаяся по законам классической динамики. Состояние такой системы обычно характеризуется её расположением (конфигурацией) и скоростью изменения последнего, а закон движения указывает, с какой скоростью изменяется состояние системы.

  В простейших случаях состояние можно охарактеризовать посредством величин w₁, ..., w_m, которые могут принимать произвольные (вещественные) значения, причём двум различным наборам величин w₁, ..., w_m и w'₁, ..., w'_m отвечают различные состояния, и обратно, а близость всех w_i к w_i' означает близость соответствующих состояний системы. Закон движения тогда записывается в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

  w_i = f_i(w₁, ..., w_m), i = 1, ..., m.          (1)

Рассматривая значения w₁, ..., w_m как координаты точки w в m-мерном пространстве, можно геометрически представить соответствующее состояние Д. с. посредством точки w. Эту точку называют фазовой (иногда также изображающей, или представляющей) точкой, а пространство — фазовым пространством системы (прилагательное «фазовый» связано с тем, что в прошлом состояния системы нередко называются её фазами). Изменение состояния со временем изображается как движение фазовой точки по некоторой линии (так называемой фазовой траектории; часто её называют просто траекторией) в фазовом пространстве. В последнем определено векторное поле, сопоставляющее каждой точке w выходящий из неё вектор f(w) с компонентами

  (f₁(w₁, ..., w_m), ..., f_m(w₁, ..., w_m))

Дифференциальные уравнения (1), которые с помощью введённых обозначений можно сокращённо записать в виде

  w = f(w),          (2)

означают, что в каждый момент времени векторная скорость движения фазовой точки равна вектору f(w), исходящему из той точки w фазового пространства, где в данный момент находится движущаяся фазовая точка. В этом состоит так называемая кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений (1).

  Например, состояние частицы без внутренних степеней свободы (материальной точки), движущейся в потенциальном поле с потенциалом U(x₁, x₂, x₃), характеризуется её положением x = (x₁, x₂, x₃) и скоростью x; вместо скорости можно использовать импульс p = mx, где m — масса частицы. Закон движения частицы можно записать в виде

 

Формулы (3) представляют собой сокращённую запись системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений 1-го порядка. Фазовым пространством здесь служит 6-мерное евклидово пространство, 6 компонент вектора фазовой скорости суть компоненты обычной скорости и силы, а проекция фазовой траектории на пространство положений частицы (параллельно пространству импульсов) есть траектория частицы в обычном смысле слова.

  Термин «Д. с.» применяется и в более широком смысле, означая произвольную физическую систему (например, систему автоматического регулирования, радиотехническую систему), описываемую дифференциальными уравнениями вида (1) или (2), и даже просто систему дифференциальных уравнений такого вида, безотносительно к её происхождению. См. также ст. Эргодическая теория.

  Лит.: Немыцкий В. В. и Степанов В. В., Качественная теория дифференциальных уравнений, 2 изд., М. — Л., 1949; Коддингтон Э. А., Левинсон Н., Теория обыкновенных дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1958, гл. 13—17; Халмош П. P., Лекции по эргодической теории, пер. с англ., М., 1959; Лефшец С., Геометрическая теория дифференциальных уравнений, пер. с англ., М., 1961.

  Д. В. Аносов.

Динамические межотраслевые модели

Динами'ческие межотраслевы'е моде'ли, экономико-математические модели плановых расчётов, позволяющие определять по годам перспективного периода объёмы производства продукции, капитальных вложений (а также ввода в действие основных фондов и производственных мощностей) по отраслям материального производства в их взаимной связи. В Д. м. м. на каждый год планового периода задаются объёмы и структура «чистого» конечного продукта (личного и общественного потребления, накопления оборотных фондов и государственных резервов, экспортно-импортного сальдо, капитальных вложений, не связанных с увеличением производства в рассматриваемом периоде), а также объём и структура основных фондов на начало периода. В Д. м. м., помимо коэффициента прямых затрат, присущих статическим межотраслевым моделям, вводят специальные коэффициенты, характеризующие материально-вещественную структуру капитальных вложений.

  По типу используемого математического аппарата Д. м. м. делятся на балансовые и оптимальные. Балансовые Д. м. м. могут быть представлены как в форме системы линейных уравнений, так и в форме линейных дифференциальных или разностных уравнений. Балансовые Д. м. м. различают также по лагу (разрыв во времени между началом строительства и пуском в эксплуатацию построенного объекта). Для оптимальных Д. м. м. характерны наличие определённого критерия оптимальности, замена системы линейных уравнений системой неравенств, введение специальных ограничений по трудовым и природным ресурсам (подробнее см. Баланс межотраслевой).

  Э. Ф. Баранов.

Динамический стереотип

Динами'ческий стереоти'п, физиологическое понятие, обозначающее относительно устойчивую систему реакции организма на воздействие внешней среды; см. Стереотип динамический.

Динамический фактор

Динами'ческий фа'ктор автомобиля, является показателем его тягово-скоростных качеств и определяется по формуле:

 

где P_k — тяговая сила на ведущих колёсах автомобиля; P_b — сила сопротивления воздуха движению автомобиля; VP_a — сила тяжести автомобиля. Д. ф., выражающийся обычно в %, характеризует возможность автомобиля развивать максимальную скорость, преодолевая сопротивление качению и подъёму, буксировать прицеп (полуприцеп) и разгоняться.