комп наверняка старый, раз они учителя все

Сомневаюсь, что бабушка сидела за компом. У мамы мог быть свой, могла работать за ним исключительно в школе и т.д. Никаких намеков на то, что учителю информатики запрещали приобрести достойный комп я не нашла.
Такие онлайн-игры требуют значительных ресурсов игрового компа. Он маме сказал, что прокачивает героя ради подработки. Как программист во время кэш почистить и проверить комп на предмет вирусов мог, с чего ему виснуть? Да и не в компе там особенно дело.

не можешь запомнить пароли – хотя бы спрячь блокнот с ними.

Их достаточно сфоткать на телефон и ввести дома. Можно посмотреть в браузере, большинство из нас их там хранит. Никто не вводит постоянно пароли ко всем сайтам, где зарегистрированы.
А вот подозрения, по которым он попался вполне оправданы. Наивно получилось. Одноклассники знают все страницы ВК друг друга, знают в каком стиле общается тот или иной ученик. Заметить "левого" Сергея в группе не стоило большого труда. Списала на то, что мальчик в детстве в соцсетях не сидел и оказался не подкованным, что современные одноклассники легко вычислят человека не из их "стаи".
 
Ну а сам комп он очень может быть и запаролил. Сделал для мамы отдельный админский вход на крайний случай, разделил профили, создал два независимых рабочих пространства. Когда у нас с мужем был один комп на двоих, то я тоже просила сделать для меня отдельный вход. У него весь рабочий стол в ярлыках, а у меня в скриншотах. У меня одни сайты, у него другие. В итоге он мне купил личный ноут, так и живу)))
 
Вот качал юный педагог фильм интересный со своего профиля, а сам убежал по делам. Тут-то и нагрянули. Знал бы где упасть...

Чем помочь-то? Кидай свои эмоции по какой-нибудь работе, мы пообсуждаем.))))