Определение пространственных координат также представляет собой непреодолимые трудности. Если наблюдатель, движущийся вместе с диском, пользуется своим стандартным измерительным стержнем (достаточно коротким по сравнению с длиной радиуса диска), располагая его по касательной к краю диска, тогда... длина этого стержня окажется меньше действительной, поскольку движущиеся тела укорачиваются в направлении движения. Наоборот, измерительный стержень, который расположен на диске в радиальном направлении, не укоротится.
По этой причине употребляют не твердые, а упругие эталоны, которые не только движутся в любом направлении, но и во время движения в разной степени меняют свою форму. Для определения времени служат часы, закон движения которых может быть любым, даже неправильным. Нам нужно представить себе, что каждые из часов укреплены в какой-то точке на нетвердом, упругом эталоне. Часы удовлетворяют только одному условию, а именно: «показания», которые наблюдаются одновременно на соседних часах (в данном пространстве), отличаются друг от друга на бесконечно малые промежутки времени. Такой нетвердый, упругий эталон, который с полным основанием можно назвать «эталонным моллюском», в принципе эквивалентен произвольно взятой четырехмерной гауссовой системе координат. Этому «моллюску» некоторую удобопонятность по сравнению с гауссовой системой придает (фактически неоправданное) формальное сохранение отдельных пространственно-временных координат в противоположность временной координате. Любая точка «моллюска» уподобляется пространственной точке, и любая материальная точка, находящаяся в покое относительно него, уподобляется покоящейся, пока «моллюска» рассматривают в качестве эталона. Общий принцип относительности настаивает, что всех таких «моллюсков» можно с равным правом и одинаковым успехом использовать в качестве эталонов при формулировках основных законов природы; сами же законы должны быть совершенно независимы от выбора «моллюска»...
Касаясь фундаментального вопроса о форме мира, Эйнштейн пишет:
Если поразмыслить над вопросом о том, в каком виде следует представлять себе вселенную как целое, то первым ответом напрашивается следующий: что касается пространства и времени, то вселенная бесконечна. Везде есть звезды, так что плотность материи, хотя местами и самая разнообразная, в среднем остается одной и той же. Иными словами, как бы далеко мы ни удалились в пространстве, повсюду мы встретим разреженные скопления неподвижных звезд примерно одного типа и плотности...
Эта точка зрения не гармонирует с теорией Ньютона. Последняя в какой-то мере требует, чтобы вселенная имела своего рода центр, где плотность звезд была бы максимальной; по мере того, как мы удаляемся от этого центра, групповая плотность звезд будет уменьшаться, пока наконец на больших расстояниях не сменится безграничной областью пустоты. Звездная вселенная по Ньютону должна быть конечным островком в бесконечной пучине пространства...
Причина невозможности неограниченной вселенной, согласно теории Ньютона, состоит в том, что интенсивность гравитационного поля на поверхности сферы, заполненной материей даже очень малой плотности, будет возрастать с увеличением радиуса сферы и в конце концов станет бесконечно большой, что невозможно...
Развитие неевклидовой геометрии привело к признанию того, что можно отбросить всякие сомнения в бесконечности нашего пространства, не приходя при этом в конфликт с законами мышления или опыта.
Признавая возможность подобных выводов, Эйнштейн описывает мир двухмерных существ на сферической поверхности:
В противоположность нашей вселенная этих существ двухмерна; как и наша, она распространяется до бесконечности...
Поверхность мира двухмерных существ составляет «пространство». Это пространство обладает весьма необычными свойствами. Если бы существа, живущие на сферической поверхности, стали проводить в своем «пространстве» круги, т.е. описывать их на поверхности своей сферы, эти круги возрастали бы до некоторого предела, а затем стали бы уменьшаться .
Вселенная таких существ конечна, но не имеет границ.
Эйнштейн приходит к заключению, что существа сферической поверхности сумели бы установить, что живут на сфере, и, возможно, определить радиус этой сферы, если бы им удалось исследовать достаточно большую часть пространства, т.е. своей поверхности.
Но если эта часть окажется очень малой, они не смогут найти наглядных доказательств того, что живут на поверхности сферического «мира», а не на евклидовой плоскости; малая часть сферической поверхности лишь незначительно отличается от части плоскости такой же величины...
Итак, если бы существа сферической поверхности жили на планете, солнечная система которой занимает ничтожно малую часть сферической вселенной, они не смогли бы определить, где они живут: в конечной или в бесконечной вселенной, поскольку та «часть вселенной», к которой они имеют доступ, в обоих случаях окажется практически евклидовой плоскостью...
Для двухмерной вселенной существует и трехмерная аналогия, а именно: трехмерное сферическое пространство, открытое Риманом. Оно обладает конечным объемом, определяемым его «радиусом»...
Легко видеть, что такое трехмерное сферическое пространство аналогично двухмерному сферическому пространству. Оно конечно, т.е. обладает конечным объемом, и не имеет границ.
Можно упомянуть еще об искривленном пространстве другого рода – об «эллиптическом пространстве», рассматривая его как некоторое искривленное пространство... Эллиптическую вселенную допустимо, таким образом, считать искривленной вселенной, обладающей центральной симметрией.
Из сказанного следует, что удается представить себе замкнутое пространство без границ. Среди примеров такого пространства сферическое (и эллиптическое) – самое простое, поскольку все его точки эквивалентны. Как результат подобного обсуждения, возникает наиболее интересный вопрос для астрономов и физиков: бесконечна ли вселенная, в которой мы живем, или она конечна по типу сферической вселенной? Наш опыт далеко не достаточен, чтобы дать нам ответ на этот вопрос. Но общая теория относительности позволяет ответить на него с известной степенью определенности; и в этой связи упомянутое ранее затруднение (с точки зрения ньютоновской теории) находит свое разрешение...