В противоположность нашей вселенная этих существ двухмерна; как и наша, она распространяется до бесконечности...

Поверхность мира двухмерных существ составляет «пространство». Это пространство обладает весьма необычными свойствами. Если бы существа, живущие на сферической поверхности, стали проводить в своем «пространстве» круги, т.е. описывать их на поверхности своей сферы, эти круги возрастали бы до некоторого предела, а затем стали бы уменьшаться.

Вселенная таких существ конечна, но не имеет границ.

Эйнштейн приходит к заключению, что существа сферической поверхности сумели бы установить, что живут на сфере, и, возможно, определить радиус этой сферы, если бы им удалось исследовать достаточно большую часть пространства, т.е. своей поверхности.

Но если эта часть окажется очень малой, они не смогут найти наглядных доказательств того, что живут на поверхности сферического «мира», а не на евклидовой плоскости; малая часть сферической поверхности лишь незначительно отличается от части плоскости такой же величины...

Итак, если бы существа сферической поверхности жили на планете, солнечная система которой занимает ничтожно малую часть сферической вселенной, они не смогли бы определить, где они живут: в конечной или в бесконечной вселенной, поскольку та «часть вселенной», к которой они имеют доступ, в обоих случаях окажется практически евклидовой плоскостью...

Для двухмерной вселенной существует и трехмерная аналогия, а именно: трехмерное сферическое пространство, открытое Риманом. Оно обладает конечным объемом, определяемым его «радиусом»...

Легко видеть, что такое трехмерное сферическое пространство аналогично двухмерному сферическому пространству. Оно конечно, т.е. обладает конечным объемом, и не имеет границ.

Можно упомянуть еще об искривленном пространстве другого рода – об «эллиптическом пространстве», рассматривая его как некоторое искривленное пространство... Эллиптическую вселенную допустимо, таким образом, считать искривленной вселенной, обладающей центральной симметрией.

Из сказанного следует, что удается представить себе замкнутое пространство без границ. Среди примеров такого пространства сферическое (и эллиптическое) – самое простое, поскольку все его точки эквивалентны. Как результат подобного обсуждения, возникает наиболее интересный вопрос для астрономов и физиков: бесконечна ли вселенная, в которой мы живем, или она конечна по типу сферической вселенной? Наш опыт далеко не достаточен, чтобы дать нам ответ на этот вопрос. Но общая теория относительности позволяет ответить на него с известной степенью определенности; и в этой связи упомянутое ранее затруднение (с точки зрения ньютоновской теории) находит свое разрешение...

Структура пространства, согласно общей теории относительности, отличается от общепризнанной.

В соответствии с общей теорией относительности геометрические свойства пространства не являются независимыми; они определяются материей. Таким образом, выводы о геометрической структуре материи можно сделать только в том случае, если основывать свои соображения на состоянии материи, как на чем-то нам известном. Из опыта мы знаем, что... скорости звезд малы по сравнению со скоростью распространения света. Благодаря этому мы можем очень приблизительно прийти к выводу о природе вселенной в целом, если рассматривать материю как пребывающую в состоянии покоя...

Мы могли бы представить себе, что с точки зрения геометрии наша вселенная ведет себя наподобие поверхности, которая в отдельных частях неравномерно искривлена, но нигде явно не отклоняется от плоскости; это нечто вроде поверхности озера, покрытого рябью. Такую вселенную можно назвать квази-евклидовой вселенной. Что касается ее пространства, то оно будет бесконечным. Но расчет показывает, что в квази-евклидовой вселенной средняя плотность материи неизбежно будет равна нулю.

Если нам нужна во вселенной средняя плотность материи, которая хотя бы на малую величину отличается от нулевой, такая вселенная не может быть квази-евклидовой. Наоборот, результаты расчетов показывают, что, если материя равномерно распределена во вселенной, такая вселенная непременно будет сферической или эллиптической. Поскольку в действительности распределение материи неоднородно, подлинная вселенная в отдельных своих частях будет отличаться от сферической. Но она непременно будет конечной. Действительно, теория показывает нам простую связь между протяженностью пространства вселенной и средней плотностью материи.

Последнее положение несколько по-иному рассматривается Э.С. Эддингтоном в его книге «Пространство, время и тяготение»:

После массы и энергии есть одна физическая величина, которая играет в современной физике очень важную роль – это действие (определяемое как произведение энергии на время).

В данном случае действие – просто технический термин, и его не следует путать с «действием и противодействием» Ньютона. В особенности же важным оно представляется в теории относительности. Причину увидеть нетрудно. Если мы желаем говорить о непрерывной материи, которая присутствует в любой точке пространства и времени, нам придется употребить термин плотность. А плотность, помноженная на объем, дает массу, или, что то же самое, энергию. Но с нашей пространственно-временной точки зрения куда более важным является произведение плотности на четырехмерный объем пространства и времени; это действие. Умножение на три измерения дает массу, или энергию; а четвертое умножение – их произведение на время.

Действие есть кривизна мира. Едва ли удастся наглядно представить себе это утверждение, потому что наше понятие о кривизне проистекает из двухмерной поверхности в трехмерном пространстве, а это дает слишком ограниченную идею возможностей четырехмерной поверхности в пространстве пяти и более измерений. В двух измерениях существует лишь одна полная кривизна, и если она исчезнет, поверхность будет плоской или ее, по крайней мере, можно развернуть в плоскость...

Повсюду, где существует материя, существует и действие, а потому и кривизна; интересно отметить, что в обычной материи кривизна пространственно-временного мира отнюдь не является незначительной. Например, кривизна воды обычной плотности такова же, как и у пространства сферической формы радиусом в 570 млн. км. Результат еще более удивителен, если выразить его в единицах времени; этот радиус составляет около половины светового часа. Трудно по-настоящему описать, что это значит; по крайней мере, можно предвидеть, что шар радиусом в 570 млн. км обладает удивительными свойствами. Вероятно, должна существовать верхняя граница возможного размера такого шара. Насколько я могу себе представить, гомогенная масса воды, приближающаяся к этому размеру, может существовать. У нее не будет центра, не будет границ, и каждая ее точка будет находиться в том же положении по отношению к общей массе, что и любая другая ее точка, – как точка на поверхности сферы по отношению к поверхности. Любой луч света, пройдя в ней час или два, вернется к исходному пункту. Ничто не сможет проникнуть в эту массу или покинуть ее пределы; фактически она сопротяженна с пространством. Нигде в другом месте не может быть иного мира, потому что «другого места» там нет.

Изложение теорий новой физики, стоящих особняком от «теории относительности» заняло бы слишком много времени. Изучение природы света и электричества, исследование атома (теории Бора) и особенно электрона (квантовая теория) направили физику по совершенно новому пути; если физика действительно сумеет освободиться от упомянутых выше препятствий, мешающих ее прогрессу, а также от излишне парадоксальных теорий относительности, она обнаружит когда-нибудь, что знает об истинной природе вещей гораздо больше, чем можно было бы предположить.