В изложении Канта вся эта история стала сложной, запутанной и противоречивой. За последние несколько десятилетий Бертран Расселл и другие ведущие специалисты по философии науки столь усердно выставляли Канта на посмешище, что у читателя, знакомого с Кантом лишь по этим доводам, могло сложиться впечатление, будто Кант был просто неотесанный метафизик, имеющий весьма смутное представление о математике и науке.
На самом деле Кант хорошо знал науку и математику своего времени. Он был преподавателем физики, и большинство его первых работ было написано на естественнонаучные темы. Подобно Альфреду Уайтхеду он перешел от математики и физики к построению метафизической философской системы только в зрелые годы. Можно что угодно думать о его окончательных выводах, но нельзя отрицать важности его вклада в перестройку самих основ философии современной науки.
В первой работе Канта «Размышления об истинной оценке живых сил» (1747) можно найти замечательные мысли, предвосхитившие появление n-мерной геометрии. «Почему, — спрашивает он, — наше пространство трехмерно?» И заключает, что это должно быть как-то связано с тем, что такие силы, как тяготение, распространяются из начальной точки подобно расширяющимся сферам.
Их напряженность убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Если бы бог пожелал создать мир, где силы изменялись обратно пропорционально кубу расстояния, говорит Кант, то потребовалось бы пространство четырех измерений. (Точно так же, хоть Кант и не упоминал об этом, силы в 2-пространстве, расходящиеся кругами от точечного источника, должны были бы изменяться обратно пропорционально первой степени расстояния.) Кант в этой работе придерживался взглядов на пространство, высказанных столетием раньше великим немецким философом и математиком Готтфридом Вильгельмом фон Лейбницем.
Пространство не имеет реальности вне материальных объектов; оно является всего лишь абстрактным математическим приемом для описания связей, существующих между объектами. Хотя мысль о четвертом измерении и приходила математикам в голову, они быстро оставляли ее как забавную спекуляцию, не имеющую никакой ценности. Никто не догадался, что асимметричный трехмерный предмет может быть (теоретически) «вывернут», если его повернуть в пространстве высшей размерности; только в 1827 году, через восемьдесят лет после появления статьи Канта, на это указал Август Фердинанд Мёбиус, немецкий астроном, в честь которого назван лист Мёбиуса. Поэтому вызывают изумление следующие строки, написанные Кантом еще в 1747 году: «Наука о всевозможных пространствах такого рода (пространствах с числом измерений больше трех) будет, несомненно, высшим усилием, которое наш ограниченный разум может предпринять в области геометрии». «Может быть, — добавляет он, — существуют протяженности с другими измерениями, и вполне вероятно, что бог нашел способ создать их, потому что в созданиях его все величие и многогранность, которые они могут вместить». Такие высшие пространства, однако, «не принадлежат к нашему миру, а образуют другие миры».
В 1768 году в статье «О первой причине различия между областями в пространстве» Кант отошел от идей Лейбница на пространство и принял взгляды Ньютона. Пространство — неподвижная, абсолютная вещь, «эфир» XIX столетия; оно имеет свою собственную реальность, не зависящую от материальных объектов. Чтобы установить существование такого пространства, Кант обращает свое внимание на предметы, которые он называет «неконгруэнтными двойниками», на трехмерные асимметричные фигуры одинаковых размеров и формы, но противоположной «направленности», такие, как раковины улиток, вьющиеся растения, правая и левая руки. Существование таких предметов, рассуждает он, означает, что пространство ньютоново. И чтобы доказать это, использует поразительный мысленный эксперимент, который можно воспроизвести следующим образом. Представим себе, что космос совершенно пуст, в нем нет ничего, кроме единственной человеческой руки. Правая это рука или левая? Поскольку внутренних измеримых различий между энантиоморфными объектами не существует, у нас нет оснований называть ее правой или левой. Конечно, если вы представите себя, глядящим на эту руку, то сразу увидите, правая она или левая, но это равносильно включению самого себя (со своим ощущением правого и левого) в 3-пространство. Нужно представить себе, что рука в пространстве совершенно изолирована и не имеет никакой связи с другими геометрическими объектами. Ясно, что бессмысленно будет говорить, что это рука правая или левая, точно так же, как бессмысленными являются для этой руки слова «маленькая» и «большая» или «верх» и «низ».
Представим себе теперь что в пространстве рядом с рукой материализуется человеческое тело. У него не хватает только рук ниже запястья. Очевидно, что рука пойдет только к одному, скажем к левому запястью. Следовательно, это левая рука. Чувствуете ли вы парадокс? Если мы доказали, что это левая рука, подогнав ее к левому запястью, то, значит, она была левой и до появления тела. Должна же быть какая-то причина, какое-то основание для того, чтобы назвать ее левой, даже если она — единственное тело во Вселенной! Кант считал, что объяснить это можно, лишь предположив, что само пространство обладает чем-то вроде абсолютной объективной структуры — какой-то трехмерной решетки что ли, — которая и даст возможность определить «направленность» единичного асимметричного объекта.
Современный читатель, знакомый с n-мерной геометрией, должен без труда разобраться в словесных трудностях кантовского мысленного эксперимента. Суть ошибки Канта очень наглядно изображена в одном из эпизодов рассказа в картинках Джона Харта под названием «До нашей эры». Один из пещерных людей на рисунке Харта только что изобрел барабан. Он ударяет несколько раз по чурбану палкой, которую держит в одной руке, и говорит: «Это левая дробь». Потом он ударяет палкой, которую держит в другой руке, и говорит: «А это правая дробь». «Откуда ты знаешь, которая из них какая?» — спрашивает его один из зрителей. Барабанщик показывает на тыльную сторону одной из ладоней и говорит: «У меня на этой руке родинка».
Посмотрим, какое отношение имеет это к ошибке Канта. Представим себе Флатландию, в которой нет ничего, кроме одной плоской руки. Она асимметрична, но бессмысленно говорить, правая она или левая, поскольку другой асимметричной структуры в этой плоскости нет. Это следует также из того, что из 3-пространства мы можем посмотреть на эту руку с обеих сторон и увидеть ее в одной из двух зеркальносимметричных форм. Положение изменится, если мы введем безрукого двумерца и определим у него «левую» сторону, скажем ту, где у него сердце. Это никоим образом не значит, что рука была «левой» или «правой» до появления двумерца, потому что появиться он может в одной из двух энантиоморфных модификаций. Если положить его на плоскость одним способом, то рука будет левой. Переверните его и положите по-другому — рука станет правой, потому что будет прикрепляться на противоположной от сердца стороне.
Означает ли это, что рука меняет свою асимметрию или что сердце двумерца магическим образом перескакивает с одной стороны на другую? Ничего подобного. Ни рука, ни двумерец нисколько не меняются. Просто их взаимное расположение в 2-пространстве изменилось. Дело тут только в словах. «Правое» и «левое» — это слова, которые означают, как сказал Шалтай-Болтай, то, что мы хотим. Отдельную руку можно назвать как угодно. То же самое относится к сторонам тела двумерца. Только в том случае, когда в одном и том же пространстве присутствуют два асимметричных объекта и на одном «ярлыки уже повешены», на втором нельзя вешать их произвольно.
То же самое творится и в 3-пространстве. Пока мы не принесли безрукое тело, относительно которого подразумевается, что левая сторона у него там, где сердце, у нас нет основания решить, как назвать руку. Если тело «перевернуть» в 4-пространстве, этикетку на руке придется сменить автоматически. Пусть мы пометили изолированную руку, назвав ее «правой». Когда появляется тело, то правым запястьем, просто по определению, будет то, к которому эта рука подойдет. Важно, что начальный выбор слова абсолютно произволен. Пещерный житель у Харта, который назвал свою руку «левой», потому что на ней была родинка, сделал совершенно разумный первый шаг. Юмор картинки заключается в способе, которым он сформулировал свой ответ. Вместо того чтобы ответить, что он знает разницу между левой и правой руками, потому что на левой руке у него родинка, он должен был сказать: «Я решил назвать левой ту руку, на которой у меня родинка». Никакого парадокса в этой ситуации нет, поэтому нет и необходимости вводить ньютоново абсолютное пространство.