была опубликована не им, а итальянским же ученым Дж. Кардано (1501-1576), который узнал ее от Тартальи. В это же время Л. Феррари (1522-1565), ученик Кардано, нашел решение уравнения 4-й степени.
Создание алгебраической символики и обобщение понятия числа вплоть до комплексных чисел позволили в XVII-XVIII вв. исследовать общие свойства алгебраических уравнений высших степеней, а также общие свойства многочленов от одного и нескольких переменных.
Одной из самых важных задач теории алгебраических уравнений в XVII-XVIII вв. было отыскание формулы для решения уравнения 5-й степени. После бесплодных поисков многих поколений алгебраистов усилиями французского ученого XVIII в. Ж. Лагранжа (1736-1813), итальянского ученого П. Руффини (1765-1822) и норвежского математика Н. Абеля в конце XVIII – начале XIX в. было доказано, что не существует формулы, с помощью которой можно выразить корни любого уравнения 5-й степени через коэффициенты уравнения, используя лишь арифметические операции и извлечение корней. Эти исследования были завершены работами Э. Галуа, теория которого позволяет для любого уравнения определить, выражаются ли его корни в радикалах. Еще до этого К.Ф. Гаусс решил проблему выражения в квадратных радикалах корней уравнения xn - 1 = 0, к которому сводится задача о построении с помощью циркуля и линейки правильного n-угольника. В частности, невозможно с помощью этих инструментов построить правильный семиугольник, девятиугольник и т.д. – такое построение возможно лишь в случае, когда n - простое число вида
Наряду с поисками формул для решения конкретных уравнений был исследован вопрос о существовании корней у любого алгебраического уравнения. В XVIII в. французский философ и математик Ж. Д'Аламбер доказал, что любое алгебраическое уравнение ненулевой степени с комплексными коэффициентами имеет хотя бы один комплексный корень. В доказательстве Д'Аламбера были пропуски, восполненные потом Гауссом. Из этой теоремы следовало, что любой многочлен n-й степени от x разлагается в произведение n линейных множителей.
В настоящее время теория систем алгебраических уравнений превратилась в самостоятельную область математики, называемую алгебраической геометрией. В ней изучаются линии, поверхности и многообразия высших размерностей, задаваемые системами таких уравнений.
АЛГОРИТМ
Алгоритм - точное предписание, определяющее процесс перехода от исходных данных к искомому результату.
Предписание считается алгоритмом, если оно обладает тремя следующими свойствами:
определенностью, т.е. общепонятностью и точностью, не оставляющими место произволу;
массовостью, т.е. возможностью исходить из меняющихся в известных пределах значений исходных данных;
результативностью, т.е. направленностью на получение искомого результата.
Перечисленных свойств вполне достаточно, чтобы можно было определить, является данное конкретное предписание алгоритмом или нет.
Совершенно очевидно, что хорошо известное предписание: «Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что» - алгоритмом не является.
Примерами алгоритмов нематематического характера могут служить различные рецепты из поваренной книги. Рассмотрим алгоритм приготовления бутерброда.
Исходные данные: хлеб (белый, черный), продукт (колбаса, ветчина, сыр, масло).
Искомый результат: бутерброд (ломтик продукта, наложенный на ломтик хлеба).
Предписание:
а) отрезать ломтик продукта;
б) отрезать ломтик хлеба;
Можно легко убедиться, что это предписание обладает всеми тремя свойствами алгоритма:
определенностью (всем понятно, что значит отрезать ломтик, положить один ломтик на другой и как все это сделать);
массовостью (хлеб может быть черным или белым, продукт – колбасой, ветчиной, сыром, маслом);
результативностью (при выполнении предписания получается искомый результат - бутерброд).
При этом последовательность выполнения пунктов а) и б) не существенна. Бутерброды получаются одинаковыми в обоих случаях а) - б) - в) и б) - а) - в). Это объясняется тем, что пункты а) и б) взаимно независимы друг от друга. Пункт в) может быть выполнен только после выполнения и пункта а), и пункта б), т.е. пункт в) зависит и от а), и от б).
Если пункты предписания изображать в виде прямоугольников, а зависимости – стрелочками, направленными в сторону зависимости, то алгоритму приготовления бутерброда будет соответствовать изображенная схема. (Интересно, что если в наличии имеются два ножа и соответствующее количество рук, то пункты а) и б) можно выполнять не только в любой последовательности, но и одновременно, и время приготовления бутерброда существенно уменьшится.)
В качестве примеров алгоритмов математического характера можно привести правила выполнения арифметических операций (сложения, вычитания, умножения, деления) над многозначными числами («столбиком»), правила выполнения таких же операций над простыми дробями, алгоритм Евклида (см. Евклида алгоритм), описания решений различных задач на построение в геометрии и т.д.
Рассмотрим алгоритм деления обыкновенных дробей.
Исходные данные: первая дробь (делимое), вторая дробь (делитель).
Искомый результат: дробь (частное).
Предписание:
а) числитель первой дроби умножить на знаменатель второй;
б) знаменатель первой дроби умножить на числитель второй;
в) записать дробь, числитель которой есть результат выполнения пункта а), а знаменатель - результат выполнения пункта б).
Все сказанное про последовательность выполнения пунктов в алгоритме приготовления бутерброда относится и к этому алгоритму.
Для того чтобы можно было изучать общие свойства алгоритмов, доказывать теоремы, нужно иметь строгое математическое определение этого термина. Такое определение удалось сформулировать сравнительно недавно советским ученым А. Н. Колмогорову и А. А. Маркову.
Вопросы, связанные с понятием алгоритма, выросли в последнее время в большую «теорию алгоритмов», потребность в которой вызвана появлением электронных вычислительных машин, станков с числовым программным управлением, промышленных роботов, автоматических линий и т.д. Во всех перечисленных случаях требуется создание алгоритмов выполнения машинами тех или иных операций, притом в таком порядке, который приводит к нужной цели. Эти алгоритмы зачастую бывают чрезвычайно сложными по структуре и для их выполнения компьютер должен сделать тысячи операций.
Если алгоритм предназначен для выполнения его на вычислительной машине, то он должен быть записан на языке, понятном этой машине. Такая запись алгоритма называется программой для ЭВМ, а язык, на котором написана программа, - языком программирования.
В процессе развития теории алгоритмов выяснилось, что существуют математические задачи, для которых невозможно составить общий алгоритм решения. Такие задачи получили название алгоритмически неразрешимых. Наиболее важные результаты в этой области принадлежат советскому математику П. С. Новикову.
АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
В истории математики условно можно выделить два основных периода: элементарной и современной математики. Рубежом, от которого принято вести отсчет эпохи новой (иногда говорят - высшей) математики, стал XVII век – век появления математического анализа. К концу XVII в. И. Ньютоном, Г. Лейбницем и их предшественниками был создан аппарат нового дифференциального исчисления и интегрального исчисления, составляющий основу математического анализа и даже, пожалуй, математическую основу всего современного естествознания.