Вместе с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные математические книги. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 г. В «Полной арифметике» немецкого математика М. Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования.

Примерно с XVI в. развитие чисто арифметических вопросов влилось в русло алгебры – в качестве значительной вехи можно отметить появление работ ученого из Франции Ф. Виета, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций алгебры.

Основной объект арифметики – число. Натуральные числа, т.е. числа 1, 2, 3, 4, ... и т.д., возникли из счета конкретных предметов. Прошло много тысячелетий, прежде чем человек усвоил, что два фазана, две руки, два человека и т.д. можно назвать одним и тем же словом «два». Важная задача арифметики – научиться преодолевать конкретный смысл названий считаемых предметов, отвлекаться от их формы, размера, цвета и т. п. Уже у Фибоначчи есть задача: «Семь старух идут в Рим. У каждой по 7 мулов, каждый мул несет по 7 мешков, в каждом мешке по 7 хлебов, в каждом хлебе по 7 ножей, каждый нож в 7 ножнах. Сколько всех?» Для решения задачи придется складывать вместе и старух, и мулов, и мешки, и хлеба.

Развитие понятия числа – появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) – все это имеет богатую и интересную историю.

«Под наукой чисел понимаются две науки: практическая и теоретическая. Практическая изучает числа постольку, поскольку речь идет о числах считаемых. Эту науку применяют  в рыночных и гражданских делах. Теоретическая наука чисел изучает числа в абсолютном смысле, отвлеченные разумом от тел и всего, что поддается в них счету». аль-Фараби

В арифметике числа складывают, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно производить эти действия над любыми числами долгое время считалось важнейшей задачей арифметики. Сейчас в уме или на листке бумаги мы делаем лишь самые простые вычисления, все чаще и чаще поручая более сложную вычислительную работу микрокалькуляторам, которые постепенно приходят на смену таким устройствам, как счеты, арифмометр (см. Вычислительная техника), логарифмическая линейка. Однако в основе работы всех вычислительных машин - простых и сложных – лежит самая простая операция – сложение натуральных чисел. Оказывается, самые сложные расчеты можно свести к сложению, только делать эту операцию надо многие миллионы раз. Но здесь мы вторгаемся в другую область математики, которая берет начало в арифметике, - вычислительную математику.

Арифметические действия над числами имеют самые различные свойства. Эти свойства можно описать словами, например: «От перемены мест слагаемых сумма не меняется», можно записать буквами: a + b = b + a, можно выразить специальными терминами.

Например, указанное свойство сложения называют переместительным или коммутативным законом. Мы применяем законы арифметики часто по привычке, не осознавая этого. Часто ученики в школе спрашивают: «Зачем учить все эти переместительные и сочетательные законы, ведь и так ясно, как складывать и умножать числа?» В XIX в. математика сделала важный шаг – она стала систематически складывать и умножать не только числа, но также векторы, функции, перемещения, таблицы чисел, матрицы и многое другое и даже просто буквы, символы, не очень заботясь об их конкретном смысле. И вот здесь оказалось, что самым важным является то, каким законам подчиняются эти операции. Изучение операций, заданных над произвольными объектами (не обязательно над числами), - это уже область алгебры, хотя эта задача основана на арифметике и ее законах.

Арифметика содержит много правил решения задач. В старых книгах можно встретить задачи на «тройное правило», на «пропорциональное деление», на «метод весов», на «фальшивое правило» и т.п. Большинство этих правил сейчас устарело, хотя задачи, которые решались с их помощью, никак нельзя считать устаревшими. Знаменитая задача про бассейн, который наполняется несколькими трубами, имеет возраст не менее двух тысяч лет, и до сих пор она не легка для школьников. Но если раньше для решения этой задачи нужно было знать специальное правило, то в наши дни уже младших школьников обучают решать такую задачу, вводя буквенное обозначение x искомой величины. Таким образом, арифметические задачи привели к необходимости решать уравнения, а это уже снова задача алгебры.

ПИФАГОР

 (ок. 570-ок. 500 гг. до н.э.)

Письменных документов о Пифагоре Самосском не осталось, а по более поздним свидетельствам трудно восстановить подлинную картину его жизни и достижений. Известно, что Пифагор покинул свой родной остров Самос в Эгейском море у берегов Малой Азии в знак протеста против тирании правителя и уже в зрелом возрасте (по преданию в 40 лет) появился в греческом городе Кротоне на юге Италии. Пифагор и его последователи - пифагорейцы - образовали тайный союз, игравший немалую роль в жизни греческих колоний в Италии. Пифагорейцы узнавали друг друга по звездчатому пятиугольнику – пентаграмме.

На учение Пифагора большое влияние оказала философия и религия Востока. Он много путешествовал по странам Востока: был в Египте и в Вавилоне. Там Пифагор познакомился и с восточной математикой. Математика стала частью его учения, и важнейшей частью.

Пифагорейцы верили, что в числовых закономерностях спрятана тайна мира. Мир чисел жил для пифагорейца особой жизнью, числа имели свой особый жизненный смысл. Числа, равные сумме своих делителей, воспринимались как совершенные (6, 28, 496, 8128); дружественными называли пары чисел, из которых каждое равнялось сумме делителей другого (например, 220 и 284). Пифагор впервые разделил числа на четные и нечетные, простые и составные, ввел понятие фигурного числа. В его школе были подробно рассмотрены пифагоровы тройки натуральных чисел, у которых квадрат одного равнялся сумме квадратов двух других (см. Ферма великая теорема).

Пифагору приписывается высказывание: «Все есть число». К числам (а он имел в виду лишь натуральные числа) он хотел свести весь мир, и математику в частности. Но в самой школе Пифагора было сделано открытие, нарушавшее эту гармонию.

Было доказано, что √2 не является рациональным числом, т.е. не выражается через натуральные числа.

Естественно, что геометрия у Пифагора была подчинена арифметике, это ярко проявилось в теореме, носящей его имя и ставшей в дальнейшем основой применения численных методов в геометрии. (Позже Евклид вновь вывел на первое место геометрию, подчинив ей алгебру.) По-видимому, пифагорейцы знали правильные тела: тетраэдр, куб и додекаэдр.

Пифагору приписывают систематическое введение доказательств в геометрию, создание планиметрии прямолинейных фигур, учения о подобии.

С именем Пифагора связывают учение об арифметических, геометрических и гармонических пропорциях, средних.

Следует заметить, что Пифагор считал Землю шаром, движущимся вокруг Солнца. Когда в XVI в. церковь начала ожесточенно преследовать учение Коперника, это учение упорно именовалось пифагорейским.

------------------------------------------

АРХИМЕД

(ок. 287-212 гг. до н.э.)

Об Архимеде – великом математике и механике – известно больше, чем о других ученых древности. Прежде всего достоверен год его смерти - год падения Сиракуз, когда ученый погиб от руки римского солдата. Впрочем, историки древности Полибий, Ливий, Плутарх мало рассказывали о его математических заслугах, от них до наших времен дошли сведения о чудесных изобретениях ученого, сделанных во время службы у царя Гиерона II. Известна история о золотом венце царя. Чистоту его состава Архимед проверил при помощи найденного им закона выталкивающей силы, и его возгласе «Эврика!», т.е. «Нашел!». Другая легенда рассказывает, что Архимед соорудил систему блоков, с помощью которой один человек смог спустить на воду огромный корабль «Сиракосия». Крылатыми стали произнесенные тогда слова Архимеда: «Дайте мне точку опоры, и я поверну Землю».