В первый же год по возвращении в Петербург Эйлер потерял и второй глаз. Ему остались доступны только крупные меловые знаки на черной доске. Но Эйлер не уменьшил масштаба своей научной деятельности. Он продолжал выпускать математические труды, работая до последнего дня жизни.
Эйлер отказался от трудных геометрических выводов Ньютона. Он изучал движение аналитически, выражая зависимость между временем и положением материальной точки уравнениями.
Эйлер утверждал, что «всякое тело, которое передвигается в другое место… проходит через все средние места и не может из начального места перейти сразу в конечное».
Это значит, что в течение чрезвычайно короткого промежутка времени и положение тела изменится очень мало. Поэтому к изучению движения тела можно применить исчисление бесконечно малых величин.
При геометрическом методе логическое рассуждение связано с проводимыми линиями и плоскостями, которые нужно начертить. Аналитический же метод заключается в операциях с математическими знаками, не связанными с наглядными представлениями. Он дает возможность легко производить сложные операции, недоступные для геометрического способа.
Введение Эйлером аналитического метода в механику лишило ее наглядности, которую давал геометрический метод Галилея, Гюйгенса и Ньютона, но зато аналитический метод способствовал быстрому развитию этой науки.
Законы вращения тел
Изучая обращение планет, можно было принимать их за материальные точки — так малы их размеры по сравнению с космическими расстояниями.
Но как движутся части машин? Какие усилия возникают в них при работе?
Части машин — не материальные точки, движущиеся под действием сил. В них возникают напряжения, и они действуют одна на другую. Чтобы рассчитывать машины, стало необходимым разработать механику твердого тела, едва затронутую в работах Гюйгенса и Ньютона.
Занявшись изучением вращения твердых тел, Эйлер должен был прокладывать новые пути в этой неизученной области.
В 1756 году Эйлер издал свой труд «Теория движения твердых тел», в котором установил важнейшие законы вращения твердого тела. Для этого ему понадобилось ввести в механику новые, ранее неизвестные понятия о «моментах»[16]. Одно из них — момент инерции тела относительно оси вращения.
Если принять грузик нитяного маятника за материальную точку, то моментом инерции его относительно оси вращения будет произведение массы на квадрат длины нити. Момент инерции вращающегося тела есть сумма произведений масс его точек на квадраты расстояний от оси вращения.
Гюйгенс пользовался уже этой величиной при изучении колебаний физического маятника. Эйлер обобщил понятие о моменте инерции и применил его при выводе законов вращения всех тел.
Определение момента инерции тел даже правильной геометрической формы представляет собой сложную задачу. Ее решают, разбивая тела на бесконечно малые элементы, момент инерции которых легко определить. Суммируя моменты инерции всех элементов, определяют искомый момент инерции тела.
Например, чтобы найти момент инерции диска относительно перпендикулярной к нему оси, проходящей через его центр, диск разбивают на большое число концентрических колец. Момент инерции диска равен сумме моментов инерции этих колец.
Подобным же способом можно определить момент инерции шара относительно одного из диаметров. Для этого нужно разделить шар системой параллельных плоскостей, перпендикулярных к этому диаметру, на множество дисков. Момент инерции шара равен сумме моментов инерции дисков относительно диаметра, служащего осью вращения.
Эйлер обратил особенное внимание на вращение свободного тела, примером которого может служить вращение Земли и других планет. Найденные им законы для такого вращения аналогичны законам поступательного движения. Только вместо массы в них фигурирует момент инерции, а угловая скорость заменяет поступательную скорость.
В каждом свободном теле, как доказал Эйлер, есть три оси, около которых вращение тела может происходить неопределенно долгое время. Они носят название главных. Особенно замечательна одна из них, относительно которой момент инерции имеет наибольшую величину: вращение около нее очень устойчиво.
Вращение же около двух других осей неустойчиво: при малейшем нарушении положения оси вращения тело начинает непрерывно менять ее, вращаясь около мгновенных осей.
Неустойчивость вращения около осей, не совпадающих с главной осью, можно наблюдать в следующем опыте.
Пусть металлическое кольцо вращается около вертикальной оси. Внутри кольца находится вытянутое тело, могущее поворачиваться около горизонтальной оси, проходящей через его центр тяжести. Тело участвует во вращении кольца.
Если вертикальная ось вращения не совпадает с главной осью тела, то оно начнет поворачиваться около горизонтальной оси. Это движение будет продолжаться до тех пор, пока главная ось тела не совпадет с осью вращения.
Момент инерции однородного шара одинаков относительно всех его диаметров. Поэтому шар может вращаться неопределенно долго около любого из них.
Но сжатый эллипсоид, форму которого имеет, например, Земля, не обладает таким свойством. У него наибольшую величину имеет момент инерции относительно короткой оси. Поэтому вращение только около этой оси имеет устойчивый характер.
Разработанная Эйлером теория объяснила множество явлений, наблюдаемых при вращении тел. Она получила широкое применение в технике при расчетах машин, а в астрономии — при изучении фигуры планет.
Вращение твердых тел
Законами вращения, выведенными теоретически Эйлером, объясняются замечательные свойства вращающихся тел, например волчка и гироскопа. Эйлер и Лагранж изучили два рода волчков.
Волчок Эйлера представляет собой подобие колокольчика с утолщенным нижним краем. Точка опоры его находится внутри и совмещается с центром тяжести волчка.
Другой вид волчка изучен французским математиком Жозефом Луи Лагранжем (1736–1813).
Жозеф Луи Лагранж был сыном бедных родителей и с ранних лет должен был сам добывать средства к жизни. В возрасте девятнадцати лет он уже преподавал математику в артиллерийском училище. В 1764 году Лагранж получил большую известность, представив в Парижскую Академию наук исследование либрации Луны[17], удостоенное специальной премии. Через два года после этого он был приглашен Берлинской Академией наук занять место Эйлера, уехавшего в Россию.
В Берлине Лагранж прожил двадцать лет и издал много трудов по математике и механике. Там же он написал свою знаменитую «Аналитическую механику», но не нашел для нее издателя. Только по возвращении его в Париж эта замечательная работа была опубликована (в 1788 году).
Волчок Лагранжа отличался от изученного Эйлером тем, что у него центр тяжести лежал выше точки опоры. Приведенный в движение, волчок вращался бы равномерно (замедление вращения происходит вследствие трения в точке опоры и в окружающем воздухе). Его движение вполне аналогично равномерному поступательному движению по инерции.
Волчки, вращение которых исследовалось Эйлером (слева) и Лагранжем (справа).
Изучая вращение волчка, механики познакомились с замечательным проявлением инерции — сохранением направления оси вращения.
Волчок, служащий детской игрушкой, позволяет легко убедиться в этом. Приведенный во вращение развернувшейся пружиной, он кажется неподвижным.
Кажущееся на первый взгляд странным сохранение направления оси вращения объясняется очень просто: каждая частица вращающегося тела по инерции сохраняет направление своего движения; поэтому сохраняется положение плоскости, в которой она движется, а ось вращения — воображаемый перпендикуляр к этой плоскости, восстановленный в центре кругового пути частицы.