И Алиса начала выделывать танцевальные фигуры, старательно повторяя те, которые получались не очень хорошо. Так, танцуя, она двигалась вперёд, глядя на свои ноги, и не заметила, что дорога повернула в лес. Лес становился всё гуще, и, наконец, стемнело так, что Алиса с удивлением подняла голову — лучи солнца с трудом пробивались сквозь листву!

— Когда в лесу темнеет, это обычно из-за того, что прилетает дракон, — вспомнила Алиса слова Эдит и на всякий случай внимательно посмотрела по сторонам.

Дракона она не увидела, но зато ей показалось, что на неё кто-то смотрит.

— Меня, наверное, приняли за сумасшедшую, — с досадой подумала Алиса. — Разве тот, кто в своём уме, станет танцевать кадриль в лесу?

И тут она заметила, что над грибом, возле которого она стояла, поднялись клубы дыма. Гриб был ростом с Алису (точнее, она была ростом с гриб: ведь она так и осталась маленькой!), и поэтому Алисе не было видно, откуда идёт дым.

— Может, там сидит дракон? — встревожилась она. — Маленький, но огнедышащий!

Алиса поднялась на цыпочки и... глаза её встретились с круглыми глазами дракона, который пустил струю дыма прямо в лицо Алисе! Она в ужасе отпрянула и спряталась за ближайшее дерево.

— Первым делом надо вырасти! — подумала Алиса, и всё вокруг сразу же уменьшилось.

Выглянув из-за дерева, Алиса увидела, что на шляпке гриба сидит Синяя Гусеница и преспокойно курит кальян. Алисе стало стыдно, что она приняла Гусеницу за дракона, и она вышла из-за дерева.

— Ты кто? — спросила Гусеница ленивым голосом.

— Алиса, — ответила Алиса, довольная, что разговор начался.

— Значит, вот они какие — Алисы... — задумчиво произнесла Гусеница, разглядывая Алису с головы до ног. — Скажи, а все Алисы такие — двуногие, танцующие, пугливые, быстрорастущие и с бантом?

— Алиса — это моё имя, — пояснила Алиса. — Я — девочка, а зовут меня Алисой.

— Ты хочешь сказать, что ты принадлежишь множеству девочек и множеству тех, кого зовут Алисами? — спросила Гусеница.

— Я не уверена, что хотела сказать именно это, — призналась Алиса. — Честно говоря, я даже не знала, что принадлежу каким-то множествам!

— Все принадлежат каким-то множествам, — отозвалась Гусеница, пуская новые клубы дыма.

— И вы тоже? — спросила Алиса.

— И я, — подтвердила Гусеница. — Я принадлежу множеству гусениц и множеству тех, кто живёт в этом лесу... Кстати, есть и такие множества, которым мы с тобой принадлежим вместе!

— Мы с вами? — поразилась Алиса. — Но у нас же нет ничего общего!

— Так уж и ничего? — спросила Гусеница, и Алисе показалось, что та на неё немного обиделась.

— Есть, есть общее! — спохватилась Алиса (ей совсем не хотелось обижать Гусеницу). — У нас обеих есть глаза, мы обе умеем разговаривать, и ещё...

— ... и ещё много чего общего, — согласилась Гусеница, хотя нотки обиды всё ещё сквозили в её голосе.

— Значит, мы с вами вместе принадлежим множеству тех, у кого есть глаза, и множеству тех, кто умеет разговаривать? — спросила Алиса.

— Конечно, — сказала Гусеница. — Но даже если бы у нас с тобой не было совсем ничего общего, всё равно мы принадлежали бы каким-то множествам вместе!

— Каким же? — удивилась Алиса.

— Например, множеству, которое состоит из тебя и меня, — ответила Гусеница.

— Но разве может множество состоять всего из двоих? — спросила Алиса.

— Множество может состоять даже из одного элемента, — отозвалась Гусеница. — Например, ты — единственный элемент множества, которое состоит из одной тебя!

— Я не элемент, а девочка! — обиделась на этот раз Алиса.

— Элементами называют то, из чего состоят множества, — пояснила Гусеница. — Ты — элемент множества девочек, и ещё множества тех, кого зовут Алисой, и ещё... — Гусеница внимательно посмотрела на Алису, — ...множества тех, у кого есть карманы. В это множество, кстати, ты входишь вместе с кенгуру...

— Но я не хочу быть в одном множестве с кенгуру! — перебила Алиса.

— Ты в одном множестве даже с лягушками, — невозмутимо отозвалась Гусеница. — Это, например, множество тех, у кого есть голова...

— Но тогда получается, что я вхожу в любое множество, — рассудила Алиса.

— Не в любое, — сказала Гусеница. — Ты не входишь, например, в множество лягушек...

— Вы же сами только что сказали, что я с ними в одном множестве! — перебила Алиса.

— Даже не в одном, — попыхивая кальяном, произнесла Гусеница. — Ты вместе с лягушками входишь в много разных множеств. Но в само множество лягушек ты не входишь!

— Почему? — спросила Алиса, совсем сбитая с толку.

— Потому что ты не лягушка, — спокойно ответила Гусеница и снова внимательно посмотрела на Алису.

Бедная Алиса даже не могла придумать, как продолжить этот разговор!

— Ещё ты не входишь в множество тех, кто знает всё! — после недолгого молчания глубокомысленно изрекла Гусеница.

— Но разве кто-нибудь знает всё? — удивилась Алиса.

— Никто! — коротко ответила Гусеница.

— Значит, множества тех, кто знает всё, просто не существует, — сказала Алиса.

— Оно существует, — возразила Гусеница и, помолчав, добавила: — Но это множество пустое.

— Что это значит? — не поняла Алиса.

— Это значит, что в нём нет ни одного элемента, — ответила Гусеница.

— Зачем же нужно такое множество, в котором ничего нет? — удивилась Алиса.

— Без него нельзя было бы, например, умножать одни множества на другие, — спокойно произнесла Гусеница.

— Умножать множества? — воскликнула Алиса. — Но разве это числа?

— Множества не числа, — отозвалась Гусеница. — Поэтому и умножают их иначе. Мы с тобой, кстати, с этого начали!

— Я этого не заметила, — призналась Алиса.

— Ты сказала, что ты девочка, которую зовут Алисой, — напомнила Гусеница. — Так вот: если умножить множество всех девочек на множество всех Алис, то получится множество всех девочек, которых зовут Алисами...

— Я поняла! — воскликнула Алиса. — А если умножить множество всех кошек на множество всех жителей Оксфорда, то получится множество всех кошек, которые живут в Оксфорде, правильно?

— Мне никогда не приходилось бывать в Оксфорде, и я никогда не видела кошек, — сказала Гусеница, — но всё равно я могу подтвердить, что ты права!

— По одной из этих кошек я уже, кажется, соскучилась, — призналась Алиса.

— А что едят кошки? — поинтересовалась Гусеница.

— Гусениц они не трогают, — успокоила её Алиса. — Но я так и не поняла, зачем для умножения множеств нужно пустое множество?

— Попробуй умножить множество всех тигров на множество всех лягушек, — предложила Гусеница..

— Получится... получится множество всех тигров, которые являются лягушками... Но ведь таких нет! — воскликнула Алиса.

— Это и значит, что множество тигров-лягушек — пустое множество, — с довольным видом сказала Гусеница.

— Пустое множество похоже на нуль, — заметила Алиса. — Ведь нуль — это тоже ничто!

— Похоже, — согласилась Гусеница. — Но всё-таки пустое множество — это не нуль.

— Чем же отличается пустое множество от нуля? — заинтересовалась Алиса.

— Скажи — когда при умножении двух чисел получается нуль? — спросила Гусеница.

— Когда хотя бы одно из этих двух чисел равно нулю! — подумав, ответила Алиса.

— Правильно, — подтвердила Гусеница. — А вот для множеств это не так: можно перемножить два непустых множества и получить пустое множество!

— Конечно, — тут же согласилась Алиса. — Например, наши тигры-лягушки!

— Множества можно не только умножать, — сказала гусеница. — Их можно ещё складывать и вычитать.

— А как это делается? — спросила Алиса. — Нет, я лучше попробую сама! Если множество всех девочек сложить с множеством всех мальчиков, то получится множество всех детей, правильно?