Примеры.

1. Рассмотрим произведение    Сколько одночленов (до приведения подобных) получится при умножении «скобки на скобку»?

Этот же вопрос можно переформулировать так: сколько пар можно составить из одночленов первой и второй скобок? В первой скобке выберем любой из трех одночленов, во второй – любой из шести. Число пар равно

В этом примере используется правило умножения.

}Вопрос 6}

}Определение и формулы для вычисления перестановок, размещений, сочетаний.

Комбинаторика - это раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий.

Основная формула комбинаторики

Пусть имеется k групп элементов, причем i-я группа состоит из n_i элементов. Выберем по одному элементу из каждой группы. Тогда общее число N способов, которыми можно произвести такой выбор, определяется соотношением N=n₁*n₂*n₃*...*n_k.

Пример. Поясним это правило на простом примере. Пусть имеется две группы элементов, причем первая группа состоит из n₁ элементов, а вторая - из n₂ элементов. Сколько различных пар элементов можно составить из этих двух групп, таким образом, чтобы в паре было по одному элементу от каждой группы? Допустим, мы взяли первый элемент из первой группы и, не меняя его, перебрали все возможные пары, меняя только элементы из второй группы. Таких пар для этого элемента можно составить n₂. Затем мы берем второй элемент из первой группы и также составляем для него все возможные пары. Таких пар тоже будет n₂. Так как в первой группе всего n₁ элемент, всего возможных вариантов будет n₁*n₂.

Рассмотрим множество, состоящие из n элементов. Это множество в комбинаторике называется генеральной совокупностью.

Число размещений из n элементов по m

1. Размещением из n элементов по m в комбинаторике называется любой упорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример. Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Число размещений в комбинаторике обозначается A_n^m и вычисляется по формуле:

Замечание: n!=1*2*3*...*n (читается: "эн факториал"), кроме того полагают, что 0!=1.

Пример. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?

Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

2. Сочетанием из n элементов по m в комбинаторике называется любой неупорядоченный набор из m различных элементов, выбранных из генеральной совокупности в n элементов.

Пример . Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Число сочетаний из n элементов по m

Число сочетаний обозначается C_n^m и вычисляется по формуле:

Пример. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

Перестановки из n элементов

3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле P_n=n!.

Пример. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

}Вопрос 7}

}Основные понятия алгебры случайных событий: «случайный эксперимент», «случайное событие», «элементарное событие», «пространство элементарных событий», «достоверное событие», «невозможное событие»

Теория вероятностей изучает ситуации в которых имеется неопределенность, т.е. у каждой ситуации может быть несколько исходов. Число исходов может быть как ограниченным, так и бесконечным.

Объединяя (группируя) исходы отдельной ситуации, мы получаем случайные события, т.е. события представляют собой множества исходов, точнее, подмножества множества всех исходов рассматриваемой ситуации. Среди всех событий выделяют достоверное, которому соответствует подмножество исходов равное множеству всех исходов (например, при бросании кости это выпадение любого количества очков); а также невозможное событие, которому не соответствует ни одного исхода, т.е. которому соответствует пустое подмножество множества исходов (например, выпадение 7 очков при бросании кости).

Множество всех подмножеств на множестве исходов формирует множество (алгебру) событий.

Случа́йный экспериме́нт (случайное испытание, случайный опыт) — соответствующего реального , результат которого невозможно точно предсказать.

В реальном мире случайное событие - это исход какого-либо эксперимента, который может как произойти, так и не произойти.

Событие, которое нельзя разбить на элементы называется элементарным.

Событие, которое в данных условиях всегда происходит называется достоверным

Событие, которое в данных условиях никогда не происходит называется невозможным

Все элементарные события, в сумме составляющие достоверное образуют пространство элементарных событий. При однократном бросании одной кости пространство элементарных событий содержит 6 элементов, при одновременном бросании двух костей - 36 элементов (всевозможные сочетания числа очков на первой и второй кости), при попадании стрелы в мишень пространство элементарных событий содержит бесконечное множество точек мишени. На рисунках 1 и 2 пространство элементарных событий (достоверное событие) условно обозначено прямоугольником, ограниченным тонкой черной линией и, следовательно содержит все точки этого прямоугольника.

}Вопрос 8}

}Основные операции алгебры случайных событий. Аксиомы и теоремы алгебры событий

1.1. Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий.

Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах.

Пример 2. Если при броске игральной кости событием А_i  назвать выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков является суммой событий А₁+А₂+А₃.