— Я придерживаюсь современных взглядов, — сказал Аполлинакс. — Можно даже сказать, что я иду гораздо дальше. Я согласен с Карлом Поппером, что существуют логические причины, по которым детерминизм нельзя более принимать всерьез.

— В это трудно поверить, — заметил кто-то.

— Ну что ж, сформулируем нашу мысль несколько иначе. Существуют такие отрезки будущего, которые в принципе никогда нельзя предсказать правильно, даже если вы располагаете полной информацией о состоянии Вселенной в данный момент. Позвольте продемонстрировать.

Он вытащил из кармана чистую карточку, какие обычно используют в библиотечных каталогах, и, держа ее так, чтобы никто не мог видеть, что он на ней пишет, нацарапал что-то и передал карточку мне, держа ее исписанной стороной вниз.

— Положите в правый карман ваших брюк.

Я исполнил указание.

— На карточке, — пояснил Аполлинакс, — я описал одно будущее событие. Оно еще не произошло, но заведомо должно либо произойти, либо не произойти, прежде чем наступит, — тут он взглянул на свои часы, — шесть часов.

Вынув из кармана еще одну чистую карточку, он протянул ее мне.

— Я хочу, — сказал Аполлинакс, — чтобы вы попробовали догадаться, произойдет ли то событие, которое я только что описал на первой карточке. Если вы считаете, что оно произойдет, напишите на той карточке, которая у вас в руках, «да». Если вы думаете, что оно не произойдет, напишите «нет».

Я начал было писать, но Аполлинакс схватил меня за руку.

— Подождите, старина. Если я увижу ваше предсказание, то смогу что-нибудь предпринять для того, чтобы оно не сбылось. Подождите, пока я не отвернусь, и не давайте никому подсматривать то, что вы напишете.

Он отвернулся и до тех пор, пока я не кончил писать, старательно разглядывал потолок.

— А теперь положите карточку со своим предсказанием к себе в левый карман, где его никто не сможет увидеть.

Он снова повернулся ко мне.

— Я не знаю вашего предсказания, а вы не знаете, в чем состоит событие. Вероятность того, что вы угадали правильно, равна 1/2.

Я кивнул.

— Я предлагаю вам пари. Если ваше предсказание ошибочно, вы платите мне десять центов. Если же оно верно, я плачу вам миллион долларов.

Все удивились.

— Вот это ставка, — проговорил я.

— А пока мы ждем, — продолжал Аполлинакс, обращаясь к Нэнси, — вернемся снова к теории относительности. Хотите знать, каким образом вы можете всегда носить относительно чистый свитер, даже если у вас есть только два свитера и вы их никогда не стираете?

— Я вся обратилась в слух, — ответила Нэнси улыбаясь.

— Не думайте плохого, — извинился Аполлинакс, — у вас есть и другие приметы, в том числе очень милые, но позвольте мне все-таки объяснить, как обстоит дело со свитерами. Вы должны носить самый чистый свитер (назовем его А) до тех пор, пока он не станет грязнее свитера В. Затем вы должны снять А и надеть относительно чистый свитер В. В тот момент, когда В станет грязнее А, вы снимаете В и снова надеваете А и т. д.

Нэнси сделала гримасу.

— К сожалению, я не могу ждать до шести часов, — сказал Аполлинакс, — тем более в такой теплый весенний вечер в Манхэттене. Вы случайно не знаете, не играет ли где-нибудь сегодня вечером Телониус Монк?

Нэнси широко раскрыла глаза.

— Конечно, знаю. Он играет как раз здесь, в Гринвич-Вилледж.

А вам нравится его манера исполнения?

— Я просто изучаю ее, — ответил Аполлинакс. — А теперь, если бы вы могли указать мне какой-нибудь ресторан, где мы с вами могли бы пообедать, то я бы объяснил вам тайну исчезновения кубика, а затем мы отправились бы слушать Монка.

После того как Аполлинакс, держа Нэнси под руку, ушел, слух о нашем пари быстро распространился среди гостей. Когда наступило шесть часов, все собрались, чтобы узнать, что же написали Аполлинакс и я. Прав оказался он. Событие было логически непредсказуемым, и я проиграл ему десять центов.

Для собственного развлечения читатель может попробовать отгадать, какое будущее событие предсказал Аполлинакс.

* * *

Многие читатели всерьез поверили в существование Аполлинакса (хотя я и сказал, что он был протеже Бурбаки, известного, но не существующего в действительности французского математика) и просили сообщить им, где можно подробнее прочитать о «функции Аполлинакса». И Аполлинакс и Нэнси, так же как и другие участники чаепития, — персонажи двух поэм Т. С. Эллиота «Мистер Аполлинакс» и «Нэнси», которыми открывается его сборник поэм 1909–1962 годов.

Кстати сказать, поэма «Мистер Аполлинакс» посвящена Бертрану Расселу. Когда Рассел в 1914 году посетил Гарвард, Эллиот присутствовал на его лекциях и они встречались за чашкой чая.

Эти встречи и послужили поводом для создания поэмы. Хилберт Донгль — это производное от Херберта Дингля, английского физика, утверждавшего, что если парадокс часов в теории относительности верен, то сама теория относительности неверна (см. главу о парадоксе часов в моей книге «Теория относительности для миллионов»[69]). Телониус Монк — это просто Телониус Монк.

Рассуждение Аполлинакса о грязных свитерах Нэнси заимствовано из небольшой поэмы Пита Хейна, имя которого уже неоднократно упоминалось в нашей книге. Парадокс с числами в вазе взят из «Математической смеси» Дж. Э. Литлвуда.[70] Он показывает, что при вычитании из трансфинитного числа «алеф-нуль» того же числа, умноженного на десять, может получиться нуль. Если перенумерованные карточки вынимать из вазы в последовательности 2, 4, 6, 8…, то в полдень в вазе останется счетное множество карточек, а именно все карточки с нечетными номерами. Точно так же можно вынуть бесконечно много карточек и оставить в вазе любое наперед заданное конечное число карточек. Если, например, вы хотите, чтобы в вазе осталось три числа, то нужно вынимать числа, начиная с 4. Вся ситуация в целом как нельзя лучше иллюстрирует то обстоятельство, что при вычитании из одного числа алеф-нуль другого такого же числа результат неопределен: в зависимости от природы тех или иных бесконечных множеств он может быть равен нулю, бесконечности или любому целому положительному числу.

Фокус с исчезающим кубиком основан на мало известном принципе, открытом Полом Кэрри. Подробное изложение этого принципа можно найти в главе «Исчезновение фигур» моей книги «Математические чудеса и тайны».[71]

Ответы

Фокус с плитками, показанный мистером Аполлинаксом, объясняется следующим образом. Когда все семнадцать плиток выложены в виде квадрата, стороны квадрата не абсолютно прямы, а слегка, на неуловимо малую величину, выпуклы. Когда один кубик взят из коробочки, а оставшиеся шестнадцать плиток перестроены так, что они снова образуют квадрат, его стороны чуть-чуть, на ту же неуловимо малую величину, вогнуты. Этим и объясняется уменьшение площади, покрываемой плитками. Чтобы еще больше усилить впечатление от фокуса, Аполлинакс, перестраивая плитки, незаметно вынул пятый кубик.

Предсказание, записанное Аполлинаксом, гласило: В левый карман вы положите карточку, на которой будет слово «нет».

Парадокс со знакопеременным рядом из четверок объясняется тем, что этот ряд не сходится и его сумма колеблется между 0 и 4. Для объяснения парадокса с вращением резинового шара и Вселенной необходимо более основательно погрузиться в теорию относительности.

Глава 45. ДЕВЯТЬ ЗАДАЧ

1. «Квадратобоязнь». В эту игру, которую мы для краткости будем называть KB Б, играют на шахматной доске размером 6x6 клеток.

Один игрок берет себе 18 белых фишек, другой — 18 черных. Каждый из игроков по очереди имеет право поставить одну фишку на любую свободную клетку доски, следя за тем, чтобы его фишки не оказались расположенными в вершинах квадрата. Квадрат может быть любого размера и наклонен под любым углом. Существует 105 различных способов построения квадратов; некоторые из них показаны на рис. 226.