Г. С. М. Коксетер обратил внимание на удивительный факт: для любого прямоугольника, как бы мало ни отличались по длине его стороны, отрезок РР' всегда можно переместить в центр квадрата, так что линии разрезов будут симметричны не только относительно вертикальной, но и относительно горизонтальной оси.

Нельзя не упомянуть и два нерешенных вопроса. Квадрат можно разрезать на одиннадцать равнобедренных остроугольных треугольников. Минимально ли это число? Существует ли четырехугольник, который нельзя было бы разрезать на восемь или меньшее число остроугольных треугольников?

На рис. 191 показаны схемы разрезания пентаграммы (правильной пятиконечной звезды) и греческого креста на наименьшее из возможных число остроугольных треугольников.

Рис. 191 Пятиугольная звезда (пентаграмма) и греческий крест, разрезанные на минимальное число остроугольных треугольников.

2. Объем сферы равен кубу ее радиуса, умноженному на 4π/3.

Площадь поверхности сферы равна квадрату ее радиуса, умноженному на 4π. Выразив радиус Луны в лунарах и предположив, что ее поверхность в квадратных лунарах равна ее объему в кубических лунарах, мы сможем определить длину радиуса, если приравняем оба выражения и решим полученное уравнение относительно радиуса. Число π сокращается и в правой и в левой части, и мы получат ем, что радиус Луны равен трем лунарам. Поскольку радиус Луны равен 1738 км, один лунар равен 579 1/3 км.

3. Независимо от того, сколько листков бумаги берут играющие в гугол, вероятность выбрать листок с наибольшим числом никогда не опускается ниже 0,367879 (предполагается, что играющий придерживается оптимальной стратегии). Эта величина обратна числу е и служит пределом вероятности выигрыша, когда число листков стремится к бесконечности.

Если для игры взято десять листков (это число особенно удобно), то вероятность выбрать листок с наибольшим числом равна 0,398. Оптимальная стратегия состоит в том, чтобы, перевернув три листка, выбрать наибольшее из значащихся на них чисел, а затем продолжать переворачивать листки до тех пор, пока не встретится еще большее число. При достаточно продолжительной игре такая тактика гарантирует выигрыш в двух случаях из пяти возможных.

Анализ игры в гугол сводится к следующему. Пусть π — число листков бумаги, взятых для игры, р — число листков, перевернутых до того, как было выбрано число, превосходящее любое из чисел, проставленных на этих листках. Перенумеруем листки по порядку от 1 до π. Пусть (k + 1) — номер листка с наибольшим числом. Для того чтобы мы могли выбрать наибольшее число, k должно быть не меньше р (в противном случае, при k < р, наибольшее число будет для нас безвозвратно «утеряно», так как окажется на одном из р первых листков), при этом наибольшее из чисел на листках от 1 до А; должно одновременно быть наибольшим из чисел от 1 до р (в противном случае мы бы не смогли дойти до наибольшего из всех чисел, так как остановили бы свой выбор на наибольшем из чисел, значащихся на листках с номерами от 1 до р). Вероятность найти наибольшее число, если оно выписано на (k + 1) — м листке, равна p/k, а вероятность того, что наибольшее число действительно стоит на (k+1) — м листке, равна 1/n. Поскольку наибольшее число может стоять только на одном листке, мы получаем для вероятности «накрытия» этого числа следующую формулу:

При заданном значении п (числа листков) формула позволяет находить оптимальное значение р (числа листков, которые нужно перевернуть) — то значение р, при котором выписанное выражение достигает максимума. При π, стремящемся к бесконечности, p/n стремится к 1/e, поэтому хорошим приближением для р можно считать ближайшее к n/e целое положительное число. Итак, при игре с п листками стратегия заключается в том, чтобы переворачивать листки до тех пор, пока их число не превысит n/e, а затем выбрать первое же число, большее максимального, из чисел, записанных на перевернутых n/e листках.

Разумеется, приведенное выше рассуждение исходит из предположения о том, что играющему не известны наибольшее и наименьшее из чисел, выписанных на листках, и поэтому, увидев очередное число, он не может судить о том, насколько близко оно к верхней или нижней границе того отрезка числовой оси, которой принадлежит выбранное число. Если играющий располагает такими сведениями, то все рассуждение становится неприменимым. Например, если вместо листков бумаги при игре в гугол взять десять долларовых купюр с их банковскими номерами, то, вытащив доллар, номер которого начинается с девятки, вам лучше всего объявить этот номер наибольшим. По аналогичным причинам игра в гугол, если говорить строго, неприменима и к задаче о девушке, жаждущей выйти замуж, ибо, как отметили многие читатели, девушка, по-видимому, великолепно осведомлена о достоинствах своих поклонников и подходит к ним с определенными мерками. Если первый же, кто делает ей предложение, очень близок к ее идеалу, то, как написал нам один из читателей, «она будет просто дурой, если не примет предложения».

Задача о максимизации значения выбранного объекта (а не вероятности выбора объекта с наибольшим значением), насколько известно, была впервые поставлена знаменитым математиком Артуром Кэли в 1875 году.

4. Примем за единицу длины ширину (или равную ей глубину) строя курсантов, а за единицу времени — то время, которое требуется им, чтобы пройти единицу длины. В принятых единицах скорость передвижения строя также будет единичной. Пусть х — полное расстояние, пройденное терьером (его скорость будет выражаться той же величиной х). Когда пес бежит к первой шеренге, его скорость относительно курсантов равна х — 1. При возвращении в последнюю шеренгу скорость терьера составляет х + 1. Каждый раз он пробегает (относительно строя) расстояние 1 и на путешествия в оба конца затрачивает единицу времени. Это позволяет нам составить уравнение

которое можно переписать в виде квадратного уравнения

Положительный корень этого уравнения равен

Умножив его на 15, получаем окончательный ответ: 36,15… м. Иначе говоря, терьер пробегает расстояние, равное длине стороны квадрата, в форме которого выстроены курсанты, плюс расстояние, равное длине диагонали того же квадрата.

Аналогичным образом получается приближенный ответ и для лойдовского варианта задачи, когда собачка бегает вокруг марширующего строя.

Пусть, как и прежде, ширина строя равна единице и единице равно время, за которое курсанты проходят 15 м. Тогда и скорость их также равна 1. Пусть а; — расстояние, пройденное собакой (и скорость собаки). Скорость собаки относительно строя равна х — 1,

когда собака бежит поперек строя, и х + 1, когда собака возвращается в последнюю шеренгу. Так как собака обегает строй за единицу времени, можно составить уравнение

которое можно переписать в виде уравнения четвертой степени:

Только один положительный корень х = 4,18112… не является посторонним. Умножив его на 15, получаем ответ: 62,7168… м.