Заплетать косы, поворачивая подвеску наугад четное число раз, а затем быстро расплетать их — занятие увлекательное. На рис. 185 показаны три простые косы, каждая из которых заплетена лишь двумя полными оборотами подвески.

Рис. 185 Три задачи на расплетание кос.

Косу в случае а получили, дважды пропустив подвеску между шнурами В и С (оба раза от себя); в случае б — продев подвеску между шнурами В и С от себя, а затем между шнурами А и В в обратном направлении. Коса в случае в заплелась от того, что подвеску два раза повернули слева направо вокруг вертикальной оси. Читателю предоставляется самому найти лучший способ расплетания каждой из этих кос.

* * *

При изготовлении «реквизита» для танглоида подвеску лучше вырезать не из картона, а из деревянной дощечки или пластика.

Вместо трех отдельных шнуров Хейн рекомендует брать один длинный шнур. Шнур нужно пропустить через первое отверстие первой подвески и привязать к ней, чтобы он не выскальзывал. Затем его нужно продеть сквозь первое отверстие второй подвески и, пропустив в обратном направлении через среднее отверстие все той же второй подвески, продеть через среднее отверстие первой подвески, после чего продеть в обратном направлении через третье отверстие первой подвески и, продев сквозь третье отверстие второй подвески, завязать свободный конец шнура узлом. Шнур свободно может проскальзывать в отверстия, что облегчает все манипуляции по сравнению с конструкцией, в которой используются три отдельных шнура. Один читатель сообщил нам, что он соединил свои подвески тремя отрезками гибкого шнура и обнаружил, что это также облегчает все манипуляции. Игру можно усложнять, вводя все новые и новые шнуры, но и при трех шнурах она весьма непроста.

Из рис. 182 видно, что описывающая танглоид группа неабелева (то есть некоммутативна). Таблицы для абелевых групп симметричны относительно диагонали, идущей из левого верхнего в правый нижний угол. Иначе говоря, треугольные части таблицы, лежащие по обе стороны этой диагонали, служат зеркальным отражением одна другой.

Если в игру с блужданием по сети линий «основы» и «утка» играют не втроем, а вчетвером, то ее группой будет группа перестановок четырех символов. Эта группа не совпадает с группой, описывающей повороты и отражения квадрата, потому что некоторые перестановки вершин квадрата нельзя получить с помощью одних лишь поворотов и отражений. Преобразования квадрата образуют «подгруппу» группы перестановок четырех символов. Все конечные группы (то есть группы с конечным числом элементов) либо являются группами перестановок, либо входят как подгруппы в какую-нибудь из групп перестановок.

В статье Артина по теории кос[58] дается метод приведения любой косы к ее «нормальной» форме. Первая прядь «нормальной» косы полностью выпрямлена, вторая может охватывать первую прядь петлями, третьей пряди разрешается описывать петли вокруг первой и второй прядей и т. д. «Хотя доказано, что всякую косу можно привести к эквивалентной ей нормальной форме, — пишет Артин, — автор на собственном опыте убедился, что любая попытка осуществить предсказанное на живой персоне приводит лишь к бурным протестам с ее стороны и оскорбительным выпадам против математики».

Ответы

Три задачи «на расплетание» кос решаются следующим образом:

1. Пропустите подвеску под шнуром С справа налево, а затем под шнурами А и В слева направо.

2. Пропустите подвеску под серединой шнура В слева направо.

3. Пропустите подвеску под всеми шнурами слева направо.

Глава 37. ВОСЕМЬ ЗАДАЧ

1. Как разрезать тупоугольный треугольник на остроугольные? Пусть дан тупоугольный треугольник. Можно ли разрезать его на меньшие треугольники так, чтобы все они были остроугольными? (Остроугольным мы называем треугольник, у которого все три угла острые. Прямой угол, разумеется, не является ни тупым, ни острым.) Если этого сделать нельзя, докажите почему. Если можно, то возникает новый вопрос: каково наименьшее число остроугольных треугольников, на которые его можно разрезать?

На рис. 186 показана типичная безуспешная попытка решить задачу. Треугольник разбит на три остроугольных треугольника, но четвертый треугольник оказывается тупоугольным, поэтому три предыдущих разрезания ничего не дают.

Рис. 186 Можно ли разрезать этот треугольник на остроугольные треугольники меньших размеров?

Эта задача представляет большой интерес, потому что вводит в заблуждение и заставляет делать неверные заключения даже очень сильных математиков. Удовольствие, которое я получил, размышляя над ней, побудило меня поставить другой вопрос. Чему равно наименьшее число остроугольных треугольников, на которые можно разрезать квадрат? В течение нескольких дней я был убежден, что минимальное число равно девяти, но потом вдруг увидел, что его можно понизить до восьми. Интересно, сумеете ли вы найти решение с восемью треугольниками. Может быть, вам даже удастся улучшить мой результат и разрезать квадрат на еще меньшее число остроугольных треугольников. Я не смог доказать, что восемь — это минимум, хотя сильно подозреваю, что это так.

2. Чему равен один «лунар»? Герои романа Герберта Уэллса «Первые люди на Луне» обнаружили, что наш естественный спутник населен разумными насекомообразными существами, обитающими в пещерах под лунной поверхностью. Предположим, что эти существа пользуются единицей длины, которую мы назовем «лунаром». Она выбрана так, что площадь лунной поверхности, лунарах, в частности, совпадает с объемом Луны в кубических лунарах. Диаметр Луны составляет 3476 км.

Скольким километрам равен один лунар?

3. Игра в гугол. В 1958 году Джон Г. Фокс-младший и Л. Джеральд Марни изобрели необычную игру, которую они назвали «гугол». Играют в нее так. Попросите кого-нибудь взять сколько угодно небольших листочков бумаги и написать на них различные положительные числа (по одному числу на каждом листке). Числа могут быть любыми: от самых маленьких дробей до «гугола» — числа, состоящего из 1 и ста нулей, — и даже больше. Листочки ваш партнер раскладывает на столе так, чтобы написанные на них числа были обращены вниз, и вы начинаете по очереди переворачивать их. Дойдя до числа, которое, по вашему мнению, является наибольшим из написанных, вы останавливаетесь. Возвращаться и выбирать числа на уже перевернутых листочках не разрешается.

Если вы перевернули все листочки, то выбрать можете только то число, которое стоит на самом последнем листке.

По мнению большинства, имеется по крайней мере пять шансов против одного, что вы не сможете указать наибольшее число. На самом деле, если вы будете придерживаться оптимальной стратегии, ваши шансы окажутся немного выше одной трети. Возникает два вопроса. Во-первых, в чем состоит оптимальная стратегия?

(Заметим, что она не совпадает со стратегией, стремящейся максимизировать значение выбранного числа.) Во-вторых, если придерживаться оптимальной стратегии, то как подсчитать вероятность выигрыша?

Если имеется только два листка бумаги, то вероятность выигрыша равна 1/2 независимо от того, какой листок вы выберете. С увеличением числа листков вероятность выигрыша (предполагается, что вы придерживаетесь оптимальной стратегии) убывает, но кривая быстро выходит на горизонтальную асимптоту и при числе листков, превышающем 10, изменяется очень мало. Вероятность выигрыша никогда не опускается ниже 1/3. Многие полагают, что, выбирая очень большие числа, они существенно усложняют задачу, однако, как показывает некоторое размышление, величина чисел не играет никакой роли. Необходимо только, чтобы числа на листках можно было расположить в порядке их возрастания.