Теория Цейзинга относительно расстояний от пупка до пола время от времени встречается и в современных книгах. Например, в книге Матила Гика[44] мы читаем: «Можно с уверенностью утверждать, что, измерив указанное отношение для большого числа мужчин и женщин, мы в среднем получим для него значение 1,618».

Смысл этого утверждения столь же неясен, сколь и смысл утверждения о вычислении «среднего отношения длины клюва птицы к длине ее ноги». По какой группе людей следует производить усреднение: по случайным образом выбранным жителям Нью-Йорка, Шанхая или по случайной выборке из населения всего земного шара? Положение усугубляется тем, что во всем мире и даже в небольших районах земного шара наблюдается сильное смешение типов телосложения.

Двое друзей из Сиэтла произвели соответствующие измерения над своими женами и получили отношение, равное 1,667, что несколько больше приводимого Лонгом значения 1,618. «Мы особо подчеркиваем, — пишут они, — что обмер наших «высокопараметрических» жен производили их уважаемые мужья. Нам кажется, что мистеру Лонку лучше всего оставить архитектуру пупков и заняться чем-нибудь другим».

Ответ

Задачу о разбиении лотарингского креста на две равновеликие части можно решать алгебраически. Обозначим через х длину отрезка CD (рис. 134) и через у — длину отрезка MN.

Рис. 134 Решение задачи с лотарингским крестом.

Если проведенная линия делит крест на две равновеликие части, то площадь заштрихованного треугольника должна быть равной 2,5 квадратной единицы. Это позволяет записать уравнение: (х + 1)(у + 1) = 5. Поскольку треугольники ACD и AMN подобны, мы можем составить второе уравнение: x/1 = 1/y

Решая систему двух полученных уравнений, находим

Следовательно, длина отрезка ВС равна

или 0,618…, то есть 1/φ. Иначе говоря, отрезки ВС и CD образуют золотое сечение отрезка BD. Точно так же нижний конец диагональной прямой делит сторону единичного квадрата на отрезки, образующие ее золотое сечение. Длина прямой, делящей лотарингский крест на две равновеликие части, равна, таким образом,

Для того чтобы найти положение точки С с помощью циркуля и линейки, можно воспользоваться любым из нескольких простых методов, восходящих к Евклиду. Один из них заключается в следующем.

Проведем прямую BE так, как показано на рис. 135.

Рис. 135 К решению задачи с лотарингским крестом.

Эта прямая делит отрезок AD пополам, так что DF = BD/2. С помощью циркуля проведем дугу окружности с центром в точке F и радиусом DF. Эта дуга пересекает отрезок BF в точке G. С центром в точке В проведем дугу окружности радиусом BG, пересекающую BD в точке С. Это и дает искомое золотое сечение отрезка BD.

Некоторые читатели нашли более простые способы решения задачи. Вот одно из самых простых построений прямой, делящей лотарингский крест на две равновеликие части: полуокружность, один конец которой проходит через точку А (рис. 134), а другой — через точку, расположенную на три единицы ниже на одной вертикали с А, пересекает правую границу креста в точке N.

Глава 24. МАРТЫШКА И КОКОСОВЫЕ ОРЕХИ

9 октября 1926 года в газете «Сатердей ивнинг пост» был напечатан небольшой рассказ Б. Э. Уильямса под названием «Кокосовые орехи». Сюжет этого рассказа сводился к тому, что некий строительный подрядчик хотел во что бы то ни стало помешать своему конкуренту получить важный заказ. Находчивый клерк подрядчика, зная страсть конкурента к занимательной математике, подсунул тому задачу настолько захватывающего содержания, что бедный конкурент, всецело поглощенный ее решением, забыл подать заявку в установленный срок и упустил контракт.

Вот эта задача в том виде, как ее сформулировал клерк из рассказа Уильямса.

Пять матросов и мартышка потерпели кораблекрушение и высадились на необитаемом острове. Весь первый день они занимались сбором кокосовых орехов. Вечером они сложили все орехи в кучу и легли спать.

Ночью, когда все заснули, один из матросов, подумав, что утром при разделе орехов может вспыхнуть ссора, встал, чтобы взять свою долю орехов немедля. Он разделил все кокосовые орехи на пять равных кучек, а один оставшийся орех отдал мартышке. Затем матрос спрятал свою долю, а все остальные орехи снова сложил в одну кучу.

Через некоторое время проснулся другой «робинзон» и сделал то же самое. У него тоже остался один лишний орех, и он отдал его мартышке. И так один за другим поступили все пятеро потерпевших кораблекрушение. Каждый из них взял себе одну пятую орехов из той кучи, которую он нашел при пробуждении, и каждый отдал один орех мартышке. Утром они поделили оставшиеся орехи, и каждому досталось поровну — по одной пятой. Разумеется, каждый из матросов не мог не знать, что части орехов не хватает, но так как у каждого из них совесть была одинаково нечиста, то никто ничего не сказал. Сколько кокосовых орехов было первоначально?

В рассказе Уильямса ответа не давалось. Говорят, что уже в течение первой недели после опубликования рассказа редакция «Сатердей ивнинг пост» получила около 2000 писем. Джордж X. Лоример, занимавший в то время пост главного редактора газеты, направил Уильямсу следующую историческую телеграмму: Ради бога, сообщите, сколько было орехов. В редакции творится черт знает что.

В течение 20 лет Уильяме продолжал получать письма либо с просьбой сообщить ответ, либо с новыми решениями. В настоящее время задача о кокосовых орехах принадлежит к числу наиболее часто решаемых, но наименее поддающихся решению диофантовых головоломок (термин «диофантово уравнение» происходит от имени Диофанта Александрийского, греческого математика, который впервые подробно исследовал уравнения, допускающие решения в рациональных числах).

Задачу о кокосовых орехах придумал не Уильяме. Он лишь видоизменил уже известную до него задачу, чтобы сильнее запутать ее. Более старая версия задачи почти полностью совпадает с приведенной в рассказе Уильямса. Единственное различие заключается в том, что утром при окончательном разделе орехов в старом варианте задачи один орех снова оказывается лишним и достается мартышке, в то время как в рассказе окончательный раздел производится точно, без остатка. Некоторые диофантовы уравнения имеют лишь одно решение (например, уравнение х2 +2 = у3); другие допускают конечное число решений, третьи (например, уравнение х3 + у3 = z3) не имеют ни одного решения. Задача о кокосовых орехах и в изложении Уильямса, и в формулировке его предшественников допускает бесконечно много решений в целых числах.

Наша задача состоит в том, чтобы найти среди них наименьшее положительное число.

Более старый вариант задачи можно свести к следующим шести неопределенным уравнениям:

N = 5A + 1, 4C = 5D + 1,

4А = 5В + 1, 4D = 5E + 1

4B = 5C + 1, 4E = 5F + 1

Смысл каждого из этих уравнений очевиден: имеющееся количество орехов делят на пять равных частей (причем эту операцию проделывают шесть раз). Буква N означает первоначальное число орехов, буква F — число орехов, которое получил каждый моряк при окончательном разделе, единицы в правых частях уравнений — те орехи, которые достались мартышке, а каждая из букв — некоторое (пока неизвестное) целое положительное число.