То же утверждение можно доказать и иным путем. Перед началом работы конгресса число его участников, обменявшихся нечетным числом рукопожатий, равно 0. После первого рукопожатия появляются два «нечетных участника». Все рукопожатия, начиная со второго, делятся на три типа: рукопожатия между двумя «четными» участниками, рукопожатия между двумя «нечетными» участниками и «смешанные» рукопожатия между «четными» и «нечетными» участниками. Каждое «четно-четное» рукопожатие увеличивает число «нечетных» участников на 2. Каждое нечетное» рукопожатие уменьшает число «нечетных» участников также на 2. Каждое «нечетно-четное» рукопожатие превращает «нечетного» участника в «четного» и, наоборот, «четного» участника в «нечетного» и, таким образом, оставляет число «нечетных» участников без изменения. Поэтому четное число биофизиков, обменявшихся нечетным числом рукопожатий, не может изменить своей четности и должно всегда оставаться четным.

Оба доказательства применимы к графу, на котором линии связывают точки попарно. Линии графа образуют сеть. Число точек сети, из которых выходит нечетное число линий, четно. Эта теорема встретится нам еще раз в главе 22 при рассмотрении головоломок, связанных с блужданием по сети линий.

9. Наибольшую вероятность выжить в «треугольной» дуэли имеет худший из стрелков, Джонс. Следом за ним идет Смит, который никогда не промахивается. Поскольку противники Джонса, когда настает их очередь стрелять, целятся друг в друга, оптимальная стратегия для Джонса заключается в том, чтобы стрелять в воздух до тех пор, пока один из его противников не будет убит. После этого он стреляет в оставшегося противника, имея перед ним большое преимущество.

Легче всего подсчитать вероятность остаться в живых для Смита. В дуэли с Брауном с вероятностью 1/2 он стреляет первым. В этом случае он убивает Брауна. Браун, который попадает в цель в 4-х случаях из 5, стреляет первым также с вероятностью 1/2. В этом случае Смит остается в живых с вероятностью 1/5. Таким образом, Смит с вероятностью 1/2 + 1/2х1/5 = 3/5 переживает Брауна. Если Смит остается в живых, то в него стреляет Джонс, который в 1/2 всех случаев промахивается. Но если Джонс промахивается при своем первом выстреле, то Смит, дождавшись своей очереди стрелять, убивает его. Поэтому с вероятностью 1/2 Смит выходит из дуэли с Джонсом живым и невредимым. Итак, вероятность остаться в живых после дуэли с обоими своими противниками для Смита равна 3/5х1/2 = 3/10.

Случай с Брауном более сложен, потому что требует рассмотрения бесконечного множества случаев. Вероятность остаться в живых после дуэли со Смитом для Брауна равна 2/5 (мы только что показали, что Смит в дуэли с Брауном имеет вероятность уцелеть, равную 3/5; так как в живых должен остаться лишь один из дуэлянтов, искомую вероятность для Смита мы находим, вычитая 3/5 из 1).

Затем в Брауна стреляет Джонс, который попадает в цель лишь в половине случаев. Если Джонс промахивается, то Браун с вероятностью 4/5 убивает его. Итак, на этом этапе дуэли Браун с вероятностью 1/2х4/5 = 4/10 выходит победителем из поединка с Джонсом. Но с вероятностью 1/5 Браун может промахнуться, после чего Джонс имеет право выстрелить еще раз. С вероятностью 1/2 Браун останется в живых, и тогда он в свою очередь сможет выстрелить в Джонса и с вероятностью 4/5 убить его. Шансы Брауна остаться в живых во время второго тура поединка составляют 1/2х1/5х1/2х4/5=4/100.

Если Браун снова промахнется, то во время третьего тура он может убить Джонса лишь с вероятностью 4/1000. В случае повторного промаха во время четвертого тура он попадет в Джонса с вероятностью 4/10000 и т. д. Таким образом, шансы Брауна пережить Джонса равны сумме бесконечного ряда 4/10+4/100+4/1000+4/10000+…

Это не что иное, как бесконечная периодическая десятичная дробь 0,44444…, равная 4/5.

Ранее мы видели, что Браун с вероятностью 2/5 может пережить Смита. Только что мы показали, что с вероятностью 4/9 он останется в живых после дуэли с Джонсом. Вероятность того, что именно Браун переживет обоих своих противников, равна, следовательно,

2/5х4/9=8/45

Аналогичным способом можно было бы подсчитать и вероятность уцелеть для Джонса, но проще получить ее вычитанием из 1 соответствующих вероятностей 3/10 для Смита и 8/45 для Брауна.

Она оказывается равной 47/90.

Весь поединок удобно изобразить с помощью специального графа—дерева дуэли (рис. 114).

Рис. 114 Дерево дуэли Смита, Джонса и Брауна.

Вначале ствол дерева раздваивается.

Это происходит потому, что если первым стреляет Джонс, то он производит свой выстрел в воздух, после чего остаются две равновероятные возможности: стреляет либо Смит, либо Джонс (эти двое стреляют «вполне серьезно», с твердым намерением убить своего противника). Одна из ветвей дерева простирается до бесконечности. Подсчет вероятности для того или иного дуэлянта остаться в живых производится следующим образом:

1. Нужно отметить все ветви дерева, в которых интересующий нас участник поединка является единственным из всех троих, оставшимся в живых.

2. Идя от каждой из отмеченных ветвей назад, к корню дерева, следует перемножить вероятности всех пройденных отрезков пути.

Произведение даст вероятность события, соответствующего концу отмеченной ветви.

3. Сложить все вычисленные в п. 2 вероятности. Их сумма будет интересующей нас вероятностью выживания того или иного дуэлянта.

При вычислении вероятностей выжить для Брауна и Джонса приходится принимать во внимание бесконечно много ветвей, однако с помощью графа нетрудно указать формулу общего члена соответствующего ряда.

Различные варианты этой задачи включены во многие сборники головоломок.

Глава 21. КУБИКИ СОМА

«…вечно куда-то спешат, ни минуты свободного времени… некогда ни присесть, ни подумать, а если в сплошном потоке их развлечений и покажется небольшой просвет — тут как тут сома, прекрасная сома…», — писал известный английский писатель Олдос Хаксли.

Китайская головоломка танграм, известная вот уже несколько тысячелетий, представляет собой квадрат из какого-нибудь материала, определенным образом разрезанный на семь частей (подробнее о танграме см. в главе 23). Игра заключается в том, что из семи элементов складывают различные фигурки. Время от времени предпринимались попытки создать трехмерные аналоги танграма, но ни одна из них не может сравниться с кубиками сома, изобретенными датчанином Питом Хейном, о чьих математических играх гексе и так-тиксе мы уже рассказывали.

Кубики сома Пит Хейн придумал во время лекции Вернера Гейзенберга по квантовой механике. Пока знаменитый физик говорил о пространстве, разрезанном на кубики, живое воображение Пита Хейна подсказало ему формулировку любопытной геометрической теоремы: если взять все неправильные фигуры, которые составлены из трех или четырех кубиков, склеенных между собой гранями, то из них можно составить один кубик большего размера.

Поясним сказанное. Простейшая неправильная фигура — «неправильная» в том смысле, что на ней имеются выступы и впадины, — получится, если склеить три кубика так, как показано на рис. 115 в случае 1.

Это единственная неправильная фигура, которую можно построить из трех кубиков (из одного или двух кубиков, очевидно, нельзя составить ни одной неправильной фигуры). Взяв четыре кубика, мы сможем построить шесть различных неправильных тел. Они изображены на рис. 115 в случаях 2–7.

Рис. 115 Семь элементов кубиков сома.

Чтобы как-то отличать построенные фигуры, Хейн перенумеровал их. Все семь неправильных фигур попарно различны, хотя фигуры 5 и 6 совмещаются при зеркальном отображении. Хейн обратил внимание на то, что, склеивая два куба, мы увеличиваем протяженность тела лишь в одном направлении. Чтобы увеличить протяженность тела в другом направлении, нам нужен еще один, третий, кубик.