Волновые пакеты

Частица, находящаяся в суперпозиции собственных состояний импульса, как это показано на рис. 6.5, называется волновым пакетом. Импульс её более или менее известен — с точностью до величины ∆p. Поскольку импульс — это произведение массы и скорости, а массу частицы мы знаем, то нам примерно известна её скорость. Чем больше ∆p (чем шире распределение импульсов в волновом пакете), тем хуже определён импульс, а значит, при отдельных измерениях будут получаться значения импульса, лежащие в более широком диапазоне. Волновой пакет также растянут и по положению. Частица не находится в конкретной точке x, как в классической физике. Существует разброс координат, задаваемый распределением вроде того, что изображён на рис. 6.6, а количественно его можно охарактеризовать шириной распределения ∆x.

Разброс по импульсу и координате

На рис. 6.7 изображены два волновых пакета. В верхней части показан волновой пакет, состоящий из сравнительно широкого распределения собственных состояний импульса. Большой разброс собственных состояний импульса (большое значение ∆p) приводит к относительно узкому пространственному распределению (малому значению ∆x). В нижней части рисунка показан волновой пакет, составленный из сравнительно узкого распределения собственных значений импульса (с малой величиной ∆p), что приводит к большому разбросу в пространственном распределении (большой величине ∆x).

Связь между ∆p и ∆x, проиллюстрированная на рис. 6.7, носит универсальный характер. Волновой пакет, охватывающий большой диапазон импульсов (с большой неопределённостью импульса), будет иметь небольшой разброс по положению (малую неопределённость координаты). Эта взаимосвязь порождается интерференцией. Волновой пакет, составленный из широкого набора собственных значений импульса, обладает широким спектром длин волн, поскольку каждому собственному значению импульса соответствует волна амплитуды вероятности длиной λ=h/p.

Рис. 6.7. Распределение вероятности импульса (p) и распределение вероятности координаты (x) для двух волновых пакетов. В верхней части имеет место широкий разброс p (большое значение ∆p), который порождает малый разброс по x (малое значение ∆x). В нижней части разброс по p мал (∆p мало́), что приводит к увеличению разброса по x (∆x велико)

Все волны амплитуды вероятности в пакете могут конструктивно интерферировать в некоторой точке пространства. Однако, как показано на рис. 6.2, с удалением от этой центральной точки конструктивной интерференции нарастает деструктивная интерференция. В любой точке, далёкой от этого центра, одни волны будут положительными, а другие — отрицательными (см. рис. 6.2). Когда разброс длин волн велик, большая разница в длинах волн приводит к тому, что деструктивная интерференция начинается очень близко от центральной точки максимальной конструктивной интерференции, и пакет оказывается узким (большое значение ∆p, малое — ∆x). Когда разброс по длинам волн мал, то есть длины волн различаются несущественно, надо значительно удалиться от центральной точки идеальной конструктивной интерференции, чтобы добраться до места, где равное число волн имеет положительные и отрицательные значения. В этом случае значение ∆p мало́, а ∆x — велико.

Ввиду особой важности представления о разбросе по импульсу и о связанном с ним разбросе по координате давайте ещё раз рассмотрим смысл разброса. Всё это связано с экспериментами. В отдельном эксперименте по измерению импульса частицы может быть получено лишь одно значение. У вас есть некоторый инструмент. Он выдаёт одно число. Он не может сообщить, что импульс равен одновременно 10 и 50. Каким же образом мы получаем одно значение, если наш пакет обладает распределением импульсов?

Волновой пакет состоит из суперпозиции собственных значений импульса, то есть импульсных волн амплитуды вероятности, однозначно связанных со значениями импульса. Когда выполняется измерение, сопутствующее ему непренебрежимое возмущение заставляет систему «перепрыгнуть» из состояния суперпозиции в определённое собственное состояние. Измерение даёт значение импульса, которое соответствует данному собственному состоянию. Обратите внимание на то, что измерение меняет систему. Чтобы выполнить ещё одно измерение, нужно начать сначала и подготовить частицу тем же способом, что и в первый раз. При повторении процедуры подготовления волнового пакета он будет состоять из той же суперпозиции собственных значений импульса. Теперь выполним то же самое измерение, что и в первый раз. В общем случае мы получим другое значение импульса, поскольку волновой пакет состоит из множества импульсных волн, с каждой из которых связано своё наблюдаемое значение импульса.

Выполнив огромное число измерений, мы можем получить значение 400 (единицы в данном случае не важны) тысячу раз, значение 390 — восемьсот раз, 410 — восемьсот раз, но 200 и 600 — только по двадцать раз. Если по всем этим числам построить график, получится распределение вероятности, подобное тем, что показаны для импульса в левой части рис. 6.7. Такое распределение вероятности — это результат экспериментального определения состава волнового пакета. Теперь мы знаем, какова величина (вероятность) каждой волны в пакете. Такое же описание применимо и к положению нашего волнового пакета. Каждое измерение положения волновых пакетов, подготовленных идентичным образом, даёт одно положение зарегистрированной частицы. После множества измерений получается распределение по координате, подобное тем, что представлены в правой части рис. 6.7.

Принцип неопределённости Гейзенберга

Чрезвычайно важной является связь между разбросом по импульсу и разбросом по координате, играющая фундаментальную роль в описании частиц в состоянии суперпозиции. Когда разброс по импульсу (∆p) велик, вдоль оси x распределено множество волн (см. рис. 6.1), которые вместе образуют волновой пакет. Эти волны имеют различную длину (см. рис. 6.2). Когда интерферирует множество волн в широком диапазоне длин, область конструктивной интерференции очень быстро заканчивается с удалением от места, где она максимальна (см. рис. 6.3 и 6.4). Это означает, что разброс по координате (∆x) мал. Если же волновой пакет состоит лишь из небольшого спектра импульсных волн (значение ∆p мало́), область конструктивной интерференции тянется в пространстве гораздо дальше от точки максимума пространственного распределения (см. рис. 6.7). Соответственно величина разброса, или неопределённости положения (∆x), оказывается большой. Всё это происходит в силу того, что волновые функции, которые описывают собственные значения импульсов, являются по своей природе волнами амплитуды вероятности. Местоположением волнового пакета можно в каком-то смысле считать область конструктивной интерференции, а в областях существенной деструктивной интерференции вероятность обнаружить частицу очень мала.

Формальное соотношение между разбросом по импульсу и разбросом по координате, то есть между ∆p и ∆x, называется принципом неопределённости Гейзенберга. Вернер Карл Гейзенберг (1901–1976) получил Нобелевскую премию по физике в 1932 году

Принцип неопределённости Гейзенберга выражается простым математическим соотношением: ∆x∙∆p≥h/4π, где h — постоянная Планка, а ∆x и ∆p задают ширину распределений координаты и импульса, как показано на рис. 6.7. (Символ ≥ означает «больше или равно».) Какой будет знак — «равно» (=) или «больше» (>), — зависит от формы распределений вероятности. Знак «равно» соответствует гауссовой кривой, названной так в честь великого математика Карла Фридриха Гаусса (1777–1855). Кривые, изображённые на рис. 6.5–6.7, представляют собой гауссовы кривые. Это стандартные «колоколообразные кривые», которые описывают такие распределения, как, например, число баллов, полученных на экзамене, при правильно подготовленном тесте и достаточном числе людей, которые его сдают. Кривые Гаусса часто встречаются в физике. Знак «больше» применим при других формах распределения. Для любой формы кривой, построенной по конкретному распределению волн, можно определить, каким будет произведение ∆x∙∆p, но оно всегда >h/4π, если только кривая не является гауссовой.