Посмотрим на чертеж. Из точки А опущен перпендикуляр на прямую I. Евклидова параллельная — прямая ЕП — естественно, перпендикулярна этому перпендикуляру.
Пунктиром обозначена непересекающаяся с I прямая Лобачевского (ПЛ).
Из соображений симметрии (перегнуть чертеж вдоль перпендикуляра AB!) ясно, что будет существовать другая, точно такая же прямая. Она также обозначена пунктиром. Далее ясно, что любая из бесконечного числа прямых, проведенных через точку А внутри угла между прямыми ЕП и ПЛ, тоже не пересекает прямую I. Итак: «Через данную точку можно провести бесконечное число прямых, не встречающих данную».
Но, естественно, можно провести и бесконечное число прямых, встречающих данную. Их можно провести в любую сколь угодно удаленную от основания точку прямой. Действительно, возьмем любую точку В′ и соединим ее с A прямой. Это всегда можно сделать благодаря известной аксиоме.
Вот и получена прямая, проходящая через А и В′.
Но ввиду непрерывности пучка прямых должна быть граничная прямая, разделяющая оба класса.
Это либо последняя прямая («пересекающая») «встречающая» прямую BB″, либо первая «невстречающая». Легко видеть, что последней «пересекающей» быть не может. Действительно, предположим, что она существует. Пусть, например, это прямая AB′ на нашем чертеже. Но тогда, взяв точку В″ за точкой В′ и соединив ее с точкой А, получим новую прямую, лежащую за В′ и встречающую (пересекающую) прямую I.
Следовательно, граничная прямая — первая не встречающая прямую I.
Естественно, таких прямых две — для каждого направления своя. Внутри угла, образованного этими прямыми, можно провести бесчисленное множество прямых, не встречающих прямую I, в том числе среди них будет и параллель Евклида.
Вот эти крайние невстречающие прямые Лобачевский назвал параллельными.
Как видите, они не имеют никакого отношения к параллельной в смысле Евклида.
И о них с некоторой натяжкой можно сказать, что они как бы пересекают данную прямую BB″ в бесконечно удаленных точках.
Правда, в этой фразе совершенно неясно, что такое «бесконечно удаленная точка», так что лучше ее вообще не произносить.
В терминах Лобачевского все прямые внутри угла «расходятся» с прямой I.
Итак, по отношению к данной прямой есть три типа прямых, которые можно провести через любую точку.
1. Сходящиеся (пересекающие); число их бесконечно.
2. Параллельные. Их две. Про каждую еще говорят: параллельная II параллельна прямой I в сторону BB′; параллельная III параллельна I в сторону B′B. Смысл этих слов понятен из чертежа.
3. Расходящиеся прямые. Это все бесконечное скопище линий внутри пучка. В частности, и «евклидова параллель».
Пока были термины.
Посмотрим теперь теоремы.
Для «параллельных» Лобачевский доказал, что они неограниченно приближаются к данной прямой (никогда не пересекая ее) и неограниченно удаляются в другую сторону.
Этот результат еще не столь странен.
Но вот следующий уже поражает.
Две расходящиеся прямые всегда имеют общий перпендикуляр, который и есть кратчайшее расстояние между ними. По обе стороны от перпендикуляра они неограниченно удаляются. Естественно, это справедливо и для частного случая «евклидовых параллелей».
Таким образом, перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой II к прямой I, во-первых, больше взаимного перпендикуляра AB, а во-вторых, с прямой II не составляет уже прямой угол.
Это действительно странно. Но доказывается безукоризненно.
Соответственно геометрическое место точек, равноудаленных от прямой, оказывается кривой линией.
Все это самые первые шаги.
Далее Лобачевский вводит новое и очень важное понятие угла параллельности.
Это острый угол между прямой, параллельной I и проведенной через точку A, и перпендикуляром AB, опущенным из этой точки на прямую I. То есть угол параллельности — CAB. По Евклиду, он, естественно, всегда равен π/2.
Сразу можно увидеть, что этот угол зависит от расстояния от точки A до прямой I, причем уменьшается с ростом расстояния.
Действительно, возьмем на продолжении перпендикуляра AB точку A′ и проведем из этой точки «евклидову параллель» к прямой AC. Она пересечет перпендикуляр AB под тем же углом, что и прямая AC.
<DA′B = <CAB.
Но мы знаем, что из точки A′ можно еще провести прямую A′C′, параллельную AC в смысле Лобачевского.
И угол C′A′B, очевидно, меньше, чем угол DA′B.
Очевидно, что если прямая A′C′ не пересекает AC, то тем более она не пересечет прямую I. Она либо расходится с ней, либо параллельна. (Начиная с этого момента, я перестаю оговаривать: «в смысле определения Лобачевского». Всюду дальше в этой главе мы будем придерживаться его геометрии и его определений.)
На самом деле Лобачевский доказал теорему:
«Если две прямые параллельны третьей в одну сторону, то они параллельны между собой в ту же сторону». Так что угол CA′B есть угол параллельности к прямой I в точке A′.
Угол параллельности есть функция расстояния до прямой. Лобачевский обозначил эту функцию Π(x); x — здесь расстояние — то есть отрезок AB.
Мы убедились уже, что эта функция убывает с ростом x. Лобачевский исследовал, как она ведет себя с уменьшением расстояния x, и показал, что угол параллельности Π(x) неограниченно стремится при этом к прямому углу. Учено это выглядит так:
Это-то ясно. Неясно покуда, что означают слова «малые расстояния».
Слова «малый» или «большой» приобретают смысл, только если указано по сравнению с чем. Без этого они лишены всякого содержания. Очевидно, должна существовать какая-то длина — некий эталон, с которым можно сравнивать все остальное.
Каким же образом этот эталон появляется? И здесь снова уместно вспомнить Лежандра. В своих исследованиях он также обнаружил, что угол параллельности зависит от расстояния. Собственно, для этого достаточно (как мы уже упоминали) чуть-чуть проанализировать его доказательство относительно суммы углов треугольника. И то, что появляется такая зависимость, казалось Лежандру столь нелепым, что одно время он и объявлял это желанным абсурдом, доказывающим пятый постулат. Рассуждал Лежандр очень остроумно, скорее как физик, чем как математик.
По сути, он использовал очень сильный метод качественного анализа физических задач — метод размеренности. Чуть модернизованно схема его рассуждений выглядит так.
Мы видим, что угол параллельности есть функция единственного отрезка — расстояния до прямой. Никакие другие линейные размеры в задачу не входят. Запишем: φ = Π(x).