55
23. Заметим, что булеву алгебру можно сформулировать и на основе отношения ≤ (или ≥). См: X. Б. Карри. Основания математической логики. М., 1969.
56
24. Для этого имеются и другие причины. Дело в том, что в алгебре логики Буля можно определить операцию дизъюнкции, и тогда все равенства, верные в логике высказываний как булевой алгебре, будут верными и в теории Буля; с другой стороны, в рассмотренной нами теории можно определить строгую дизъюнкцию (например, так:
(А V B)≝((A & ~В) V (~А & В)), и тогда теория Буля может быть пред. ставлена как теория булевой алгебры (в узком смысле).
57
25. Понятие формы класса (классовой формы) следует понимать по аналогии с понятием «форма высказывания».
57
26. Ср. примечание 14.
58
27. Заметим, что при проверке схем аксиом, в каждой из которых фигурирует по две формы классов, следует учитывать возможные отношения между двумя произвольными классами а и β. Таких отношений может быть пять: классы а и β совпадают; класс а полностью входит в класс β, причем в β имеются элементы, не принадлежащие а; то же отношение, но с заменой а на β и наоборот; классы а и β имеют общие элементы, причем в а есть элементы, не принадлежащие классу β, и в β есть элементы, не принадлежащие а; классы а и β не имеют общих элементов. Эти отношения можно передать следующими схемами (рис. 7). Проверяя равенство, нужно убедиться в его справедливости при каждом из этих отношений.
59
28. Абстрактное понятие булевой алгебры есть достижение середины нашего века, в то время как его спецификации — на классах и высказываниях — восходят к логикам прошлого века. Применению аппарата булевой алгебры к исследованию релейно-контактных схем начало положили в 1935—1938 гг. В. И. Шестаков, А. Никасима и К. Шеннон, один из создателей кибернетики (см. его статью «Символический анализ релейных и переключательных схем», в русском переводе опубликованную в кн.: К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике. М., 1963). «Приоритет в применении аппарата математической логики к вопросам электротехники (связанным с построением релейно-контактных схем), — отмечает С. А. Яновская, принадлежит... В. И. Шестакову, работа которого «Алгебра релейно-контактных схем»... написанная еще в январе 1935г., к сожалению, не была своевременно опубликована, хотя и легла в основу его кандидатской диссертации» (Послесловие редакции в кн: А. Тарекии. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. М., 1948. с. 320).
60
1. Эти — и другие — высказывания выдающихся мыслителей о математике см. в кн.: Е. Т. Веll. Men of Mathematics. N. Y. 1962, XV—XVII.
61
2. См. об этом в кн.: В. Н. Молодший. Очерки по философским вопросам математики. М., 1969, ч. II, гл. 2.
62
3. Конечную дробь, то есть (периодическую) дробь с «хвостом» из одних нулей (например, 3,14000...) при этом заменяют бесконечной периодической дробью с девяткой в периоде (в нашем примере— дробью 3,13999...).
63
4. Если действительное число есть рациональное число, то есть если десятичная дробь является периодической, то с бесконечностью можно «справиться» тривиальным способом, рассматривая число как дробь p/q, где p и q — целые числа, а q отлично от нуля.
64
5. E. Т. Веll. Men of Mathematics. N. Y., 1962. p. 431.
65
6. С теорией Дедекинда можно подробнее познакомиться по изложению автора. См.: Р. Дедекинд. Что такое числа и для чего они служат. Казань, 1905.
7. См. Г.М. Фихтенгольц. Основы математического анализа. Т. 1. М., 1960, с. 17.
66
8. Априори возможен еще случай, когда в левом классе есть наибольшее число, а в правом — наименьшее. Однако нетрудно показать, что такой случай противоречит свойствам сечения.
67
9. См. об этом подробнее в кн. В. Н. Молодшего, указанной в примечании 2.
68
10. Б. Рассел. История западной философии. М., 1959, с. 56.
69
11. Цитируется по кн.: Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., 1963. с. 29.
70
12. См. об этом в кн.: История математики. Т. 1. М., 1970, с. 292 и далее.
71
13. См. статью Л. Кальмара, указанную в примечании 13 к гл.1, е.188,
72
14. С основными идеями Г. Кантора можно ознакомиться по трем его работам, имеющимся в русском переводе (опубликованы в издании:
Новые идеи в математике. Вып. 6. Спб, 1914).
73
15. С. К. Клини. Введение в метаматематику. М., 1957, с. 14.
74
16. Этот результат был в определенном смысле обобщением следующего свойства конечных множеств. Пусть дано, скажем, множество из трех элементов М = {а, b, с}. Помимо пустого множества, по определению входящего во всякое множество, и самого множества M, входящего в самое себя, в нем содержатся следующие подмножества: {а}, {b}, {с} {а, b}, {а, с}, {b, с}; таким образом, множество всех подмножеств множества из трех элементов содержит 8, или 23 элементов. Легко доказать, что если исходное множество содержит n элементов, то множество всех его подмножеств будет содержать 2n элементов. Поэтому в случае конечных множеств количественное превосходство производного множества над исходным очевидно. Но когда речь идет о бесконечных множествах, вопрос становится не таким просты»: Кантор доказал, что и в этом случае производное множество превзойдет исходное; правда, здесь уже нельзя будет сказать, что в нем окажется больше элементов — и там и там их бесконечно много, а следует говорить, что оно обладает большей мощностью. Термин «мощность» Кантор определил математически строго. См. гл. I книги С. К. Клини, указанной в примечании 15.
75
17. G. Frege. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens. Halle, 1879; G. Frege. Grundgesetze der Arithmetik, begriffsschrift lich abgeleitet. Bd. I, Jena, 1893; Bd. II, Jena, 1902:
Общую характеристику вклада Фреге в логику и основания математики см. в статье Б. В. Бирюкова «О работах Фреге по философским вопросам математики», помещенной в сборнике «Философские вопросы естествознания», вып. 2, [М], 1959.
76
18. В рассмотренном нами в гл. 3 исчислении равенств это были знаки → и ≡.
77
19. При этом в интерпретациях этого исчисления — если не иметь в виду интуиционистскую и подобные ей «неклассические» логики, о которых пойдет речь ниже, присутствуют булевы алгебры.
78
20. В построении самого Фреге фигурировали не схемы аксиом, а конкретные аксиомы, в связи с чем в числе постулатов имелось еще одно правило вывода — так называемое правило подстановки. Однако мы следуем его системе лишь в самых общих- чертах. Заметим, что символика Фреге резко отличалась от обычной линейной логической и математической символики. Она носила «рисунчатый» характер и не привилась.